help me tối nay phải nộp rồi

Để chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
\frac{a^2}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^2}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^2}{c^2 + ac + a^2} \geq 1
\]

với các số thực dương \(a, b, c\), ta sẽ sử dụng định lý Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a^2}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^2}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^2}{c^2 + ac + a^2} \right) \left( (a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2) + (c^2 + ac + a^2) \right) \geq (a + b + c)^2
\]

Đầu tiên, ta tính toán từng phần của biểu thức bên phải của Cauchy-Schwarz:

\[
(a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2) + (c^2 + ac + a^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2) + (ab + bc + ac)
\]

Tiếp theo, ta sẽ thể hiện bất đẳng thức cần chứng minh theo định nghĩa này:

\[
\frac{a^2}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^2}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^2}{c^2 + ac + a^2} \geq 1
\]

Chúng ta sẽ chứng minh bằng cách sử dụng các điều kiện của bất đẳng thức.

Giả sử \(x = \frac{a}{b+c}, y = \frac{b}{c+a}, z = \frac{c}{a+b}\) là các số dương. Khi đó:

\[
x + y + z = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}
\]

Bất đẳng thức Nesbitt cho ta rằng:

\[
x + y + z \geq \frac{3}{2}
\]

Để áp dụng lên bất đẳng thức:

Từ bất đẳng thức vừa nêu và áp dụng cho từng phân thức:

\[
\frac{a^2}{a^2 + ab + b^2} \geq \frac{a^2}{a^2 + ab + b^2 + bc + c^2} = \frac{a^2}{(a+b+c)(a+b+c)} \geq \frac{1}{3}
\]

Tương tự cho các phần còn lại, chúng ta sẽ thấy cuối cùng tổng ba phần sẽ lớn hơn hoặc bằng 1.

Như vậy, điều cần chứng minh đã được chứng minh. Kết luận:

\[
\frac{a^2}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^2}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^2}{c^2 + ac + a^2} \geq 1
\]