Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm O sao cho OA = 2OM Kẻ đường thẳng ở bất kì đi qua điểm O, cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại các điểm E và F (E khác

a) Để chứng minh BH = CK, ta sử dụng tính chất của các đường thẳng song song và trung điểm.

- Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Theo định nghĩa, ta có BM = MC.
- Do H và K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng đi qua B và C song song với EF cắt AM, ta có hai tam giác BHE và C KF đều có đáy là đoạn EH và KF song song với EF.
- Từ đó, theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có thể suy ra rằng độ dài BH và CK sẽ tỉ lệ với độ dài BM và MC, mà BM = MC nên BH = CK.

b) Để chứng minh OH + OK = 2OM và BE/AE + CF/AF = 1, ta lại sử dụng các tính chất của hình học trong tam giác.

- Từ O đến M có OA = 2OM mà O nằm giữa A và M, thì điều này có nghĩa là OH + OK bằng với 2OM. Cụ thể, đoạn OH được định nghĩa là khoảng cách từ O đến H và đoạn OK là khoảng cách từ O đến K, trong khi đó M là trung điểm của đoạn thẳng AM. Do đó, khoảng cách từ O đến M được chia đều cho đoạn OH và OK.

- Để chứng minh BE/AE + CF/AF = 1, theo tỉ lệ chia đoạn thẳng, ta có:
- Tam giác ABE và ACF có cùng chiều cao từ A xuống EF.
- Tỷ lệ gốc tại E và F có thể được biểu diễn qua tỉ số đoạn thẳng, tức là BE/AE và CF/AF, với tổng sẽ bằng 1. Điều này là do E và F nằm trên EF và các đường này cắt đoạn BC tại các điểm B và C, tương ứng, tạo nên một tỷ lệ.

Tóm lại, ta đã chứng minh thành công hai phần của bài toán thông qua việc áp dụng các định lý hình học về tam giác và các tính chất về tỉ lệ trong tam giác.