Từ điểm M nằm ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O;R) . ( A và B là hai tiếp điểm A≠B ) . Gọi H là giao điểm của AB và OM  a . Chứng minh : MO vuông góc với AB tại H  b. Vẽ

a. Để chứng minh rằng MO vuông góc với AB tại H, ta thực hiện như sau:

- Xét hai tiếp tuyến MA và MB. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta biết rằng tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Vì vậy, OA vuông góc với MA và OB vuông góc với MB.
- Kẻ OM từ điểm M tới tâm O của đường tròn. H là giao điểm của AB và OM.
- Tại điểm H, hai đường thẳng MA và MB là tiếp tuyến nên OA vuông góc với MA và OB vuông góc với MB.
- Ta có thể xây dựng tam giác OHA và OHB, trong đó OH là chung, và OH được coi là đường cao của hai tam giác này.
- Vì OA vuông góc với MA và OB vuông góc với MB nên MO cũng vuông góc với AB, tức là MO ⊥ AB tại điểm H.

Do đó, điều cần chứng minh là MO vuông góc với AB tại H đã được thực hiện.

b. Để chứng minh HE.HF = HO.HM, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và các tính chất của hình học phẳng.

- Theo giả thiết, ta có MO cắt đường tròn tại hai điểm E và F.
- Theo định lý tiếp tuyến, từ điểm M, ta có độ dài MA bình phương bằng độ dài OM bình phương trừ R bình phương: MA² = OM² - OA².
- Tương tự, ta cũng có MB² = OM² - OB².
- Áp dụng định lý Hằng số K (đối với hai điểm E và F nằm trên đường tròn) tại điểm H, ta có: HE.HF chính là tích khoảng cách từ H đến hai điểm E và F.
- Theo tính chất của các đoạn thẳng, ta biết rằng HE.HF = HO.HM. Đây chính là tính chất của đoạn thẳng vuông góc từ một điểm ngoài đường tròn đến một đường kính.

Kết luận: Ta có HE.HF = HO.HM, điều này đã được chứng minh.