T `= 1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + 2021/2^2021 + 2022/2^2022` Chứng tỏ T `< 2`

Để chứng minh rằng T < 2 với T được định nghĩa là

T = 1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + 2021/2^2021 + 2022/2^2022,

ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật trong dãy số và giới hạn.

Trước tiên, hãy xem xét từng số hạng trong T:

T = ∑ (n/2^n) từ n = 1 đến 2022.

Một trong những công thức hữu ích cho chuỗi của dạng này là công thức tổng quát cho chuỗi số hạng n/x^n, với x > 1:

S = ∑ (n*x^(-n)) từ n = 1 đến ∞ = x/(x-1)^2.

Chúng ta có thể áp dụng công thức này cho trường hợp x = 2, để tính giá trị của tổng tân tổng vô hạn:

S = ∑ (n/2^n) từ n = 1 đến ∞ = 2/(2-1)^2 = 2.

Tuy nhiên, trong trường hợp của T, chúng ta chỉ tổng trong khoảng từ 1 đến 2022. Để đánh giá T, chúng ta thấy rằng

∑ (n/2^n) từ n = 2023 đến ∞ < ∑ (n/2^n) từ n = 2022 đến ∞.

Vì T là tổng từ 1 đến 2022, trong khi tổng từ 2023 đến vô hạn của chuỗi `n/2^n` có thể tương đối nhỏ, nhưng chúng ta vẫn còn phải xem xét này.

Ra ngoài khả năng tổng vô hạn, ta cũng cần thiết lập rằng:

T = ∑ (n/2^n) từ n=1 đến 2022 < ∑ (n/2^n) từ n=1 đến ∞ = 2.

Bây giờ, nếu xem xét giới hạn thứ hai của chuỗi bất đồng T < 2, cụ thể hơn:

T = 1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + 2022/2^2022

Ta dễ dàng chỉ ra rằng khi n càng lớn, 2^n càng lớn, dẫn tới các phần tử trong chuỗi của T cũng giảm xuống nhanh hơn. Điều này làm cho tổng của chuỗi này nhắm tới một giá trị nào đó, và từ chi tiết vừa nêu, nó sẽ nằm dưới 2.

Kết luận là, do T là tổng của một chuỗi có số hạng n/2^n và có thể xác định được rằng tổng T không thể vượt quá 2, vì mọi số hạng sau 2022 làm giảm thêm giá trị của T. Do đó, chúng ta có:

T < 2.