ai giải chi tiết câu này giúp mình với...

Để giải bài toán này, ta cần tìm điều kiện để hàm số \( f(x) \) có đúng một điểm cực trị. Đầu tiên, ta sẽ xem xét đạo hàm \( f'(x) \):

\[ f'(x) = x^2 (x + 1)(x^2 + 2mx + 5) \]

Để có cực trị, đạo hàm \( f'(x) \) phải bằng 0. Chúng ta sẽ đặt phương trình:

\[ x^2 (x + 1)(x^2 + 2mx + 5) = 0 \]

Nghiệm của phương trình này được tạo thành từ ba yếu tố:

1. \( x^2 = 0 \): cho nghiệm \( x = 0 \).
2. \( x + 1 = 0 \): cho nghiệm \( x = -1 \).
3. \( x^2 + 2mx + 5 = 0 \): đây là một phương trình bậc hai.

Để phương trình bậc hai \( x^2 + 2mx + 5 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, chúng ta cần điều kiện của delta:

\[ \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4m^2 - 20 \]

Để có hai nghiệm phân biệt (\( x^2 + 2mx + 5 = 0 \)), ta yêu cầu \( \Delta > 0 \):

\[ 4m^2 - 20 > 0 \]

Giải bất phương trình trên:

\[ 4m^2 > 20 \]

\[ m^2 > 5 \]

\[ |m| > \sqrt{5} \]

Như vậy, để hàm số \( f(x) \) có đúng một điểm cực trị, \( f'(x) = 0 \) chỉ có một nghiệm duy nhất, ta cần:

- Có 2 nghiệm từ \( x^2 + 2mx + 5 = 0 \), nên phải có \( m < -\sqrt{5} \) hoặc \( m > \sqrt{5} \).
- Để \( f'(x) \) có đúng một nghiệm, cần giữ lại một trong hai nghiệm đã tìm được (0 hoặc -1) và không cho nghiệm nào từ phương trình bậc hai, tức là \( \Delta < 0 \):

Vì:
\[ 4m^2 - 20 < 0 \]
\[ m^2 < 5 \]
\[ |m| < \sqrt{5} \]

Tóm lại, cần \( |m| < \sqrt{5} \) và \( |m| > \sqrt{5} \) không thể đồng thời; do đó hàm số \( f(x) \) không thể có đúng một điểm cực trị. Mục tiêu không thể đạt được với bất kỳ giá trị nguyên nào của \( m \).

Kết luận: không có giá trị nguyên nào của \( m \) để hàm số có đúng một điểm cực trị.