TÌm tất cả các số nguyên tố `p,q,r` thỏa mãn `p^3=p^2+q^2+r^2`

Để tìm tất cả các số nguyên tố p, q, r thỏa mãn phương trình p^3 = p^2 + q^2 + r^2, ta có thể bắt đầu bằng cách đơn giản hóa và phân tích phương trình.

1. Sắp xếp lại phương trình:
Chúng ta có thể viết lại phương trình như sau:
p^3 - p^2 = q^2 + r^2
Hay:
p^2(p - 1) = q^2 + r^2

2. Tính các trường hợp cho p:
- Nếu p = 2:
p^2(2 - 1) = 2^2 * 1 = 4
q^2 + r^2 = 4
Các cặp (q, r) có thể là (2, 0) hoặc (0, 2). Tuy nhiên, số 0 không phải là số nguyên tố, nên cặp duy nhất là (2, 2) (vì 2 là số nguyên tố).

- Nếu p = 3:
p^2(3 - 1) = 3^2 * 2 = 18
q^2 + r^2 = 18
Các cặp (q, r) có thể thỏa mãn là (3, 3) và (1, 4). Nhưng 1 không phải là số nguyên tố, do đó cặp (3, 3) là hợp lệ.

- Nếu p = 5:
p^2(5 - 1) = 5^2 * 4 = 100
q^2 + r^2 = 100
Các cặp (q, r) có thể là (10, 0), (8, 6), (6, 8) (tuy nhiên 10 và 8 không phải là số nguyên tố khi xét điều kiện nguyên tố); chỉ có cặp (7, 7) thỏa mãn (7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98 không đủ), không có cặp hợp lệ nào.

- Với p = 7:
p^2(7 - 1) = 7^2 * 6 = 294
q^2 + r^2 = 294. Không có số nguyên tố nào cặp thỏa mãn.

- Với các số nguyên tố lớn hơn 7, do p^2(p - 1) sẽ gia tăng rất nhanh trong khi q^2 + r^2 không thể vượt quá một giới hạn nhất định trong khi vẫn là số nguyên tố, nên không có cặp nào thỏa mãn với các số nguyên tố như vậy.

3. Kết luận:
Các cặp (p, q, r) duy nhất thỏa mãn với p, q, r đều là số nguyên tố là:
(2, 2, 2) và (3, 3, 3).

Vì vậy, các số nguyên tố p, q, r thỏa mãn yêu cầu là: (2, 2, 2) và (3, 3, 3).