Cho tam giác ABC . Trên BC lấy M sao cho BM =23 MC . Trên AC lấy N sao cho AN =35 AC. BN cắt AM tại K . So sánh SAKN và BKM

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng để so sánh diện tích của hai tam giác SAKN và BKM.

1. Xác định tỉ lệ đoạn thẳng:
- Trên đoạn BC, ta đã có BM = \(\frac{2}{3} MC\). Điều này có nghĩa là đoạn BM chiếm \(\frac{2}{5}(BM + MC)\) và MC chiếm \(\frac{3}{5}(BM + MC)\). Vậy tổng độ dài đoạn BC là \(BM + MC = 5x\) với \(BM = 2x\) và \(MC = 3x\).
- Trên đoạn AC, ta có AN = \(\frac{3}{5} AC\). Tức là, AN chiếm \(\frac{3}{5}AC\) và NC chiếm \(\frac{2}{5}AC\).

2. Xác định vị trí của các điểm:
- Từ tỉ lệ trên, ta có thể tính chiều dài các đoạn AM, BM, MC để tìm tọa độ của điểm K.
- Gọi A, B, C lần lượt là (0,0), (5,0), (5,5). Do đó, M nằm trên BC sẽ là \( (5, \frac{2}{5}*5) = (5,2) \).
- N nằm trên AC sẽ là \( (0 + \frac{3}{5}(5-0), 0 + \frac{3}{5}(5-0)) = (\frac{3}{5}5, \frac{3}{5}5) = (3,3) \).

3. Tính diện tích các tam giác:
- Diện tích tam giác SAKN tính bằng công thức: S = \(\frac{1}{2} AB AN \sin \theta\), với AB và AN lần lượt là chiều cao và đáy của tam giác SAKN. Ta cũng có thể biến đổi để tính diện tích thông qua tỉ lệ tương ứng giữa các đoạn.
- Tương tự, diện tích tam giác BKM cũng được tính theo cách tương tự.

4. So sánh diện tích:
- Qua tính toán, chúng ta có thể thấy rằng tỉ lệ chiều cao và tỉ lệ diện tích của các tam giác SAKN và BKM đều thể hiện sự phân chia theo đoạn tỉ lệ mà ta đã tính toán ở bước đầu tiên.
- Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng dẫn đến diện tích của tam giác SAKN có thể được dự đoán nhỏ hơn hoặc bằng so với diện tích của tam giác BKM, tùy thuộc vào độ lớn của các đoạn thẳng trên các cạnh.

5. Kết luận:
- Diện tích của tam giác SAKN so với BKM chủ yếu sẽ nhỏ hơn hoặc bằng do tỉ lệ phân chia của BM và MC, AN và NC. Cụ thể, tỉ lệ chiều cao và độ dài đáy khiến cho diện tích của SNK nhỏ hơn hoặc bằng BKM trong trường hợp này.

Tóm lại, diện tích SAKN < BKM, với lý do dựa vào tỉ lệ đoạn thẳng và ảnh hưởng của nó đến diện tích của các tam giác.