Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR phương trình: x^2 -2x-ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a)-ca(c+a-2b)+1=0 (3) luôn có nghiệm. Khi đó tìm điều kiện của a,b,c để phương trình có nghiệm kép.

Để chứng minh rằng phương trình \( x^2 - 2x - ab(a+b-2c) - bc(b+c-2a) - ca(c+a-2b) + 1 = 0 \) luôn có nghiệm, ta cần xem xét điều kiện nào cho hàm số bậc hai này có nghiệm. Phương trình bậc hai của dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) có nghiệm khi và chỉ khi delta \( \Delta \ge 0 \).

Ta có:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = - ab(a+b-2c) - bc(b+c-2a) - ca(c+a-2b) + 1 \).

Vậy:
\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-ab(a+b-2c) - bc(b+c-2a) - ca(c+a-2b) + 1)
\]
\[
= 4 + 4 (ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) - 1)
\]
Để phương trình có nghiệm, ta cần \( \Delta \geq 0 \), tức là:
\[
4 + 4 (ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) - 1) \geq 0
\]

Giải bất phương trình này:
\[
ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) - 1 \geq 0
\]
Điều này trở thành điều kiện để xác định khi nào phương trình có nghiệm.

Để phương trình có nghiệm kép, ta cần \( \Delta = 0 \).

Tức là:
\[
ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) - 1 = 0
\]

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các tính chất của cạnh tam giác, ta thấy rằng các điều kiện trên có thể được thỏa mãn khi a, b, c là các cạnh của một tam giác. Cụ thể, chúng ta cần tìm những giá trị cho a, b, c sao cho thỏa mãn điều kiện phương trình bậc hai này có nghiệm kép.

Một số điều kiện cụ thể có thể được đưa ra:
1. \( a + b > c \)
2. \( a + c > b \)
3. \( b + c > a \)

Nhờ các điều kiện này, ta có thể kiểm tra tính khả thi của nghiệm kép trong phương trình đã cho. Các nghiệm kép sẽ xảy ra khi các canh của tam giác a, b, c thoả mãn hai điều kiện trên, từ đó dẫn đến việc giá trị của delta trở về 0.

Do đó, để phương trình có nghiệm kép, điều kiện cần thiết là các cạnh a, b, c phải thoả mãn bất đẳng thức tam giác, đồng thời đảm bảo rằng các lượng \( ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ca(c + a - 2b) = 1 \).

Kết luận là các điều kiện xét cho a, b, c là các cạnh của một tam giác để đảm bảo phương trình trên có nghiệm kép, cần đáp ứng các bất đẳng thức tam giác.