Mik cần lời giải chi tiết

Để tính giới hạn \( L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right) \), ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức.

Bước 1: Phân tích phần dưới căn bậc hai

Ta có \( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} \). Khi \( n \) tiến tới vô cùng, thành phần \( n^{24} \) sẽ chiếm ưu thế. Ta có thể nhân và chia biểu thức này với \( \sqrt{n^{24}} \):

\[
\sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} = n^{12} \sqrt{1 + \frac{6n^{12}}{n^{24}} + \frac{1}{n^{24}}} = n^{12} \sqrt{1 + \frac{6}{n^{12}} + \frac{1}{n^{24}}}
\]

Khi \( n \to \infty \), các thành phần \( \frac{6}{n^{12}} \) và \( \frac{1}{n^{24}} \) sẽ tiến gần đến 0, do đó:

\[
\sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} \sim n^{12} \quad (\text{khi } n \to \infty)
\]

Bước 2: Phân tích phần dưới căn bậc ba

Tiếp theo, ta phân tích \( \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \):

\[
\sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} = n^{12} \sqrt[3]{1 + \frac{3n^{24}}{n^{36}} + \frac{2}{n^{36}}} = n^{12} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}}
\]

Khi \( n \to \infty \), các thành phần \( \frac{3}{n^{12}} \) và \( \frac{2}{n^{36}} \) cũng sẽ tiến gần đến 0, do đó:

\[
\sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \sim n^{12} \quad (\text{khi } n \to \infty)
\]

Bước 3: Tính giới hạn L

Ta kết hợp cả hai phần:

\[
L = \lim_{n \to \infty} \left( n^{12} \sqrt{1 + \frac{6}{n^{12}} + \frac{1}{n^{24}}} - n^{12} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}} \right)
\]

Factoring \( n^{12} \) ra ngoài giới hạn:

\[
L = \lim_{n \to \infty} n^{12} \left( \sqrt{1 + \frac{6}{n^{12}} + \frac{1}{n^{24}}} - \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}} \right)
\]

Khi \( n \to \infty \):

\[
\sqrt{1 + \frac{6}{n^{12}} + \frac{1}{n^{24}}} \to 1
\]
\[
\sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}} \to 1
\]

Cho nên, cả hai biểu thức trong dấu ngoặc đều tiến về 1, do đó:

\[
\sqrt{1} - \sqrt[3]{1} = 1 - 1 = 0
\]

Cuối cùng, khi n lớn, hiệu giữa hai hạng tử này sẽ tiến đến 0 nhanh hơn so với n^12, do đó \( L = 0 \).

Kết luận, giới hạn cần tìm là:

\[
\boxed{0}
\]