Em cần làm bài 15 chi tiết ạ

Để giải bài 15, ta làm như sau:

a) Ta có phương trình x² - 2(m + 1)x - m = 0. Để chứng minh phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần xét điều kiện của delta.

Công thức tính delta (Δ) của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 là:

Δ = b² - 4ac

Với a = 1, b = -2(m + 1), c = -m, ta tính delta:

Δ = (-2(m + 1))² - 41(-m)
= 4(m + 1)² + 4m
= 4[m² + 2m + 1 + m]
= 4[m² + 3m + 1]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, thì delta phải lớn hơn 0:

4(m² + 3m + 1) > 0

Vì 4 > 0, nên ta chỉ cần xét điều kiện:

m² + 3m + 1 > 0

Phương trình bậc hai này có thể giải bằng cách tìm nghiệm của nó qua công thức:

m = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
= (-3 ± √(3² - 411)) / 2*1
= (-3 ± √5) / 2

Các nghiệm của phương trình là:

m₁ = (-3 - √5) / 2
m₂ = (-3 + √5) / 2

Xét dấu của đa thức m² + 3m + 1, ta có:

- Đa thức sẽ có giá trị dương cho m < m₁ và m > m₂.

=> Vậy m² + 3m + 1 > 0 với điều kiện:

m < (-3 - √5)/2 hoặc m > (-3 + √5)/2.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x₁² + x₂².

Theo định nghĩa, ta có:

x₁ + x₂ = 2(m + 1) (từ hệ số b của phương trình)
x₁x₂ = -m (từ hệ số c của phương trình)

Biểu thức T có thể viết lại như sau:

T = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
T = [2(m + 1)]² - 2(-m)
= 4(m + 1)² + 2m
= 4(m² + 2m + 1) + 2m
= 4m² + 8m + 4 + 2m
= 4m² + 10m + 4

Để tìm giá trị nhỏ nhất của T, ta xét hàm bậc hai 4m² + 10m + 4. Hàm này có giá trị nhỏ nhất tại:

m = -b/(2a) = -10/(2*4) = -5/4.

Thay giá trị m vào T:

T = 4(-5/4)² + 10(-5/4) + 4
= 4*25/16 - 50/4 + 4
= 25/4 - 50/4 + 4
= 25/4 - 50/4 + 16/4
= -9/4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là -9/4.