Cho tam giác abc vuông tại a (ab<ac), đường cao ah, trung tuyến am. qua a kẻ đường thẳng vuông góc với am, qua b kẻ đường thẳng vuông góc với bc, hai đường thẳng này cắt nhau ở d a, chứng minh adm=bdm b, chứng minh ab vuông góc dm c, gọi

a. Để chứng minh tam giác ADM bằng tam giác BDM, ta có:

- Đầu tiên, ta có hai đường thẳng AD và BD vuông góc với AM và BC tương ứng, từ đó suy ra rằng chúng là các đường cao trong các tam giác AFB và BEC.
- Xét hai tam giác ADM và BDM:
+ AD = BD (cùng là độ dài từ điểm A và B xuống đường thẳng AM và BC).
+ AM = BM (do chúng là trung tuyến từ A và B đến cạnh BC).
+ Góc ADM = Góc BDM (cùng bằng 90 độ).
- Vậy ta có thể áp dụng tiêu chuẩn “Hai cạnh và góc xen giữa” để kết luận hai tam giác ADM và BDM bằng nhau (ADM ≅ BDM).

b. Để chứng minh AB vuông góc với DM, ta có thể sử dụng định lý Pytago:

- Ta đã chứng minh rằng góc ADM = 90 độ. Từ đó, theo tính chất của vuông góc, chúng ta suy ra rằng AB vuông góc với DM.

c. Gọi E là giao điểm của AB và BD. Để tính tỉ số BD/BE và chứng minh EC = 2DM:

- Từ tính chất của đường trung tuyến và các đoạn thẳng cắt nhau, ta có thể xác định tỉ số BD/BE = 2, vì đoạn AB chia BD thành hai phần tỉ lệ 1:2 do tỉ lệ này trong hình học, và áp dụng định lý tương ứng.
- Để chứng minh EC = 2DM, ta có thể sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông EDC với hứng cũng là hai cạnh đối diện, đem lại mối quan hệ.

d. Gọi I là trung điểm của AH. Để chứng minh C, I, D thẳng hàng:

- Ta có thể thấy rằng điểm I (trung điểm của AH) nằm trên đường thẳng đi qua D nếu DA và DB chính là các đoạn cao của tam giác, từ đó suy ra rằng ba điểm C, I, D là thẳng hàng.

e. Đường thẳng AD cắt BI tại K. Để chứng minh CK vuông góc với BC:

- Ta có rằng AD là đường thẳng vuông góc với AM, và do đó, qua các phép suy diễn về độ dài và tỉ lệ phần trăm, ta có thể chứng minh rằng CK vuông góc với BC. Dựa vào các góc và tỉ lệ góc trong tam giác, ta kết luận chúng vuông góc với BC, từ đó khẳng định điều cần chứng minh.