cho 3 số a,b,c khác 0 và a^2 + b^2 + c^2 = ab+bc+ca=3 Tính giá trị biểu thức P=a^22+b^23+c^24

Để giải bài toán này, ta có 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn hai điều kiện: a² + b² + c² = 3 và ab + bc + ca = 3.

### Bước 1: Phân tích điều kiện

Theo bất biến Cauchy-Schwarz, ta có:

(a² + b² + c²)(1 + 1 + 1) ≥ (a + b + c)².

Thay thế giá trị vào điều kiện thứ nhất, ta có:

3 × 3 ≥ (a + b + c)²,

=> 9 ≥ (a + b + c)².

Kết luận rằng: a + b + c ≤ 3.

### Bước 2: Sử dụng điều kiện thứ hai

Từ điều kiện thứ hai, ab + bc + ca = 3. Có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz lần nữa để xem xét sự liên hệ giữa a, b, c:

(ab + bc + ca) = 3 cũng tương ứng với việc tính trung bình, cho thấy rằng a, b, c có thể bằng nhau. Giả sử a = b = c = k, sau đó thay vào các điều kiện:

1. 3k² = 3 → k² = 1 → k = ±1.

Chỉ lấy giá trị dương vì a, b, c đều khác 0, ta có: a = b = c = 1.

### Bước 3: Tính giá trị của P

Giờ thì ta cần tính giá trị của biểu thức:

P = a²² + b²³ + c²⁴.

Với a = b = c = 1:

P = 1²² + 1²³ + 1²⁴ = 1 + 1 + 1 = 3.

### Kết luận

Vậy giá trị của biểu thức P là 3.