1 mũ 2 trừ 2 mũ 2 + 3 mũ 2 - 4 mũ 2 + .. + 99 mũ 2 - 100 mũ 2 + 101 mũ 2

Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức sau:

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2.

Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét các nhóm trong biểu thức này theo từng cặp số:

(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + (5^2 - 6^2) + ... + (99^2 - 100^2) + 101^2.

Khi tính từng cặp, ta có:

n^2 - (n + 1)^2 = n^2 - (n^2 + 2n + 1) = -2n - 1.

Vậy cho một cặp số n (là số lẻ), ta có:

1^2 - 2^2 = -2*1 - 1 = -3,
3^2 - 4^2 = -2*3 - 1 = -7,
5^2 - 6^2 = -2*5 - 1 = -11,
...
99^2 - 100^2 = -2*99 - 1 = -199.

Nhận thấy rằng mỗi cặp đều cho ra một kết quả với công thức chung là: -2n - 1, với n là số lẻ, và mỗi lần n tăng lên 2, ta sẽ có số lẻ tiếp theo.

Để tìm tổng của các trường hợp từ 1 đến 100, ta kiểm tra số lượng cặp: từ 1 đến 100 có 50 số lẻ (1, 3, 5, ..., 99), do đó sẽ có 50 cặp:

Tổng các cặp này sẽ là:

- (3 + 7 + 11 + ... + 199).

Đó là một cấp số cộng mà a_1 = 3, a_n = 199 và số hạng cuối cùng là 50. Để tính tổng S của cấp số cộng thì:

Tổng S = n/2 (a_1 + a_n) = 50/2 (3 + 199) = 25 * 202 = 5050.

Cuối cùng, bây giờ ta cộng thêm vào số hạng cuối cùng 101^2:

Tính 101^2 = 10201.

Vậy tổng của biểu thức là:

-5050 + 10201 = 5151.

Do đó, giá trị của biểu thức 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2 là 5151.