cho tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm BC. D,E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC a) tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? b) CMR: DE=1/2 BC c) gọi P là trung điểm BM, Q là trung điểm MC. CMR: tứ giác DPQE

a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta cần chú ý đến các đặc điểm của tứ giác. D là hình chiếu của M trên AB, có nghĩa là MD vuông góc với AB. Tương tự, E là hình chiếu của M trên AC, nên ME vuông góc với AC. Do đó, ta có AD vuông góc với ME và AM vuông góc với MD. Vì AD và ME, MD và AM đều vuông góc với nhau, và các đoạn AD và ME có chiều dài bằng nhau (do M là trung điểm của BC), nên tứ giác ADME có bốn góc vuông, và do đó là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh DE = 1/2 BC, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MAB và MAC. Xét tam giác MAB vuông tại A, với M là trung điểm của BC, nên MB = MC. Ta có:

MB^2 + AB^2 = AM^2.
MC^2 + AC^2 = AM^2.

Vì M là trung điểm của BC, nên BC = 2MB. Ta cũng có DE nằm trong tam giác vuông tại D và E, với chóng luôn tạo ra độ dài DE sẽ bằng 1/2 chiều dài BC.

c) Để chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau. Gọi P là trung điểm BM và Q là trung điểm MC, ta có:

DP = (DB + DM) / 2 và EQ = (EM + ED) / 2.

Vì P và Q là trung điểm nên DP // EQ và DP = EQ. Nếu DP = EQ, và DE là đoạn thẳng song song thì DPQE là hình bình hành. Tiếp theo, chứng minh giao điểm của hai đường chéo DP và QE nằm trên đoạn AM là do cấu trúc của hình bình hành, cho thấy rằng hai đường chéo sẽ cắt nhau tại điểm trong tứ giác mà các đoạn cắt bằng nhau.

d) Để tứ giác DPQE trở thành hình chữ nhật, các góc tại điểm D và E cần phải là các góc vuông. Điều này chỉ xảy ra nếu M nằm trên đường phân giác của góc A. Nghĩa là nếu góc A của tam giác ABC là 90 độ, hoặc với các kích thước và hình dạng khác của tam giác A, B, C, nhằm đảm bảo rằng angle D và E luôn vuông góc.

Kết quả là ta thỏa mãn điều kiện cần thiết để DPQE là hình chữ nhật.