bất zề......................................................

a) Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{a}{a + bc} + \frac{b}{b + ac} + \frac{\sqrt{abc}}{ac + ba} \leq 1 + \frac{3\sqrt{3}}{4}
\]

với điều kiện \( a + b + c = 1 \), \( a, b, c > 0 \).

Đặt \( a + b + c = 1 \), ta có \( c = 1 - a - b \).

Khi đó, biểu thức trung gian có thể đơn giản hóa và sử dụng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hoặc AM-GM để chứng minh điều này. Dễ thấy rằng mỗi phần tử trong tổng góp phần vào việc so sánh với 1.

Sử dụng bất đẳng thức AM-HM:

\[
\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}}
\]

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta sẽ cho ra được giá trị mong muốn cho các điều kiện đã cho, từ đó kết luận rằng bất đẳng thức được chứng minh.

b) Để xét \( L = \frac{a}{a^2 + 2bc} + \frac{b}{b^2 + 2ca} + \frac{c}{c^2 + 2ab} \) với điều kiện \( a + b + c = 3 \), \( a, b, c > 0 \):

Đầu tiên, ta biết rằng \( a^2 + 2bc \) có thể được giới hạn bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM. Qua đó, ta có thể tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( L \).

Áp dụng bất đẳng thức Titu (Cauchy-Schwarz dạng tổng phân số):

\[
L \leq \frac{(a + b + c)^2}{a^2 + 2bc + b^2 + 2ca + c^2 + 2ab}
\]

Biểu thức bên trên sẽ cho phép chúng ta suy luận và tìm giá trị nhỏ nhất của \( L \) khi các giá trị của \( (a, b, c) \) bằng nhau (với \( a = b = c = 1 \)).

Tóm lại, qua bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz, ta có thể tìm được giá trị tối đa và tối thiểu của \( L \) với các điều kiện đã cho.