Giải nhanh nhất và chính xác nhất có thể

Để giải bài toán giới hạn:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{7^n - 6^{n+1}}{5^{n+1} + 3 \cdot 4^{n+2}} \]

Ta phân tích từng phần trong giới hạn này.

1. Phân Tử Tử:

Tử là \( 7^n - 6^{n+1} \). Để xét giới hạn khi \( n \) tiến đến vô cực, ta chú ý rằng \( 7^n \) lớn hơn \( 6^{n+1} \) khi \( n \) đủ lớn, vì \( 7 > 6 \). Do đó, tử sẽ được xấp xỉ thành:

\[ 7^n - 6^{n+1} \approx 7^n \text{ khi } n \to \infty. \]

2. Phân Tử Mẫu:

Mẫu là \( 5^{n+1} + 3 \cdot 4^{n+2} \). Chúng ta tách ra các phần trong mẫu:

\( 5^{n+1} \) có hệ số lớn hơn \( 4^{n+2} \) khi \( n \) lớn, vì \( 5 > 4 \). Mẫu sẽ xấp xỉ:

\[ 5^{n+1} \text{ khi } n \to \infty. \]

3. Văn Phạm Cụ Thể:

Khi thay thế vào giới hạn, ta có:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{5^{n+1}}. \]

4. Rút Gọn:

Dễ dàng nhận ra rằng:

\[ \frac{7^n}{5^{n+1}} = \frac{7^n}{5^n \cdot 5} = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{7}{5} \right)^n. \]

5. Giới Hạn Cuối Cùng:

Khi \( n \to \infty \), \( \left( \frac{7}{5} \right)^n \) tiến đến vô cực vì \( \frac{7}{5} > 1 \). Do đó:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{7}{5} \right)^n = \infty. \]

Vậy kết luận cuối cùng là:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{7^n - 6^{n+1}}{5^{n+1} + 3 \cdot 4^{n+2}} = \infty. \]