Cho A (3,4). Tìm hai điểm B,C trên trục Ox sao cho tam giác ABC đều

Để tìm hai điểm B và C trên trục Ox sao cho tam giác ABC đều với điểm A(3,4), ta cần sử dụng đặc điểm của tam giác đều.

1. Trước hết, điểm A(3,4) có tọa độ thuộc miền trên của trục Ox. Chúng ta gọi tọa độ của hai điểm B và C trên trục Ox lần lượt là B(b,0) và C(c,0).

2. Một tam giác đều có ba cạnh có độ dài bằng nhau. Do đó, ta cần có ba độ dài AB, AC, và BC đều bằng nhau.

3. Ta áp dụng công thức tính độ dài giữa hai điểm trong mặt phẳng:
- Độ dài AB = sqrt((b - 3)² + (0 - 4)²) = sqrt((b - 3)² + 16)
- Độ dài AC = sqrt((c - 3)² + (0 - 4)²) = sqrt((c - 3)² + 16)
- Độ dài BC = |b - c|

4. Để tam giác ABC đều, ta có:
- AB = AC
- AB = BC
- AC = BC

5. Từ AB = AC, ta có:
sqrt((b - 3)² + 16) = sqrt((c - 3)² + 16)

Bình phương hai vế:
(b - 3)² + 16 = (c - 3)² + 16
=> (b - 3)² = (c - 3)²
=> b - 3 = ±(c - 3)

Từ đây, ta có hai trường hợp:
- b - 3 = c - 3 => b = c (không hợp lệ vì B và C phải khác nhau)
- b - 3 = - (c - 3) => b + c = 6

6. Giờ chúng ta cần đảm bảo điều kiện AB = BC:
sqrt((b - 3)² + 16) = |b - c|

7. Thay c bằng 6 - b vào, ta có:
sqrt((b - 3)² + 16) = |b - (6 - b)|
=> sqrt((b - 3)² + 16) = |2b - 6|

8. Bình phương hai vế:
(b - 3)² + 16 = (2b - 6)²
=> (b - 3)² + 16 = 4b² - 24b + 36
=> b² - 6b + 9 + 16 = 4b² - 24b + 36
=> 0 = 3b² - 18b + 11

9. Giải phương trình bậc hai 3b² - 18b + 11 = 0 bằng công thức nghiệm:
b = [18 ± sqrt((-18)² - 4 3 11)] / (2 * 3)
= [18 ± sqrt(324 - 132)] / 6
= [18 ± sqrt(192)] / 6
= [18 ± 8*sqrt(3)] / 6
= 3 ± (4/3)*sqrt(3)

10. Ta tìm được hai giá trị cho b:
- b₁ = 3 + (4/3)*sqrt(3)
- b₂ = 3 - (4/3)*sqrt(3)

11. Từ b, ta tính c:
- c₁ = 6 - b₁ = 3 - (4/3)*sqrt(3)
- c₂ = 6 - b₂ = 3 + (4/3)*sqrt(3)

Cuối cùng, hai điểm B và C trên trục Ox sẽ là:
- B(3 + (4/3)sqrt(3), 0) và C(3 - (4/3)sqrt(3), 0).