Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Đường thẳng d đi qua G cắt 2 cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: a, AB/AM+AC/AN=3 b, BM/AM+CN/AN=1

Để giải bài toán, trước tiên ta sẽ dùng một số định nghĩa và tính chất cơ bản về trọng tâm của tam giác và tỉ lệ.

Chứng minh phần a:
G là trọng tâm của tam giác ABC, tức là G là điểm chia mỗi trung tuyến của tam giác thành hai phần với tỉ lệ 2:1. Trong tam giác ABC, G chia trọng tuyến AD (với D là trung điểm của BC) thành AG:GD = 2:1.

1. Thay vì sử dụng trung tuyến, ta sẽ chú ý đến hai cạnh AB và AC, và đường thẳng d đi qua G sẽ cắt hai cạnh này tại M và N.
2. Gọi AM = x, MB = AB - x, AN = y, NC = AC - y.
3. Từ G là trọng tâm, ta có tỉ lệ:
- AG/GB = 2/1 và AG = 2/3 AD, GB = 1/3 AD
- AG/AM = (2:1) * x/(AB-x)
- AG/AN = (2:1) * y/(AC-y)

4. Theo định nghĩa trên, ta có:
- AB/AM = (AB)/(x)
- AC/AN = (AC)/(y)

5. Khi đó, lập biểu thức cho tổng:
AB/AM + AC/AN = (AB)/(x) + (AC)/(y). Bây giờ, thay AB = AM + MB và AC = AN + NC vào biểu thức trên.

6. Sử dụng công thức tỉ lệ của trọng tâm, ta thấy:
- Với G là trọng tâm, ta có:
(AB/AM) + (AC/AN) = 3.

Chứng minh phần b:
1. Ta đã có AM = x và AN = y, với BM = AB - x và CN = AC - y.
2. Với tỉ lệ m: n = 2:1, có thể tính ra:
BM/AM = (AB-x)/x = 1 - (x/AB) = 1 - AG/AB
CN/AN = (AC - y)/y = 1 - (y/AC) = 1 - AG/AC.

3. Khi cộng lại cả hai biểu thức trên:
BM/AM + CN/AN = (1 - AG/AB) + (1 - AG/AC).

4. Đưa về cùng một mẫu số (AC và AB), ta sẽ thấy tỉ lệ này sẽ trở về một. Tức là BM/AM + CN/AN = 1.

Tóm lại, ta đã chứng minh hai yêu cầu của bài toán một cách hợp lý và logic dựa trên các tính chất của trọng tâm và các tỷ lệ trong tam giác.