giải rỗ ràng chi tiết dùm em ạ

Cho phương trình:

sin²x - 2(m - 1)sin x cos x - (m - 1)cos²x = m.

Đầu tiên, ta sẽ đổi phương trình này về dạng chuẩn hơn để dễ phân tích. Ta biết rằng sin²x + cos²x = 1, nên có thể viết lại phương trình trên bằng cách thay thế sin²x thành 1 - cos²x.

Thay vào phương trình ta có:

1 - cos²x - 2(m - 1)sin x cos x - (m - 1)cos²x = m.

Sắp xếp lại ta có:

1 - m - (2(m - 1) + (m - 1))cos²x - 2(m - 1)sin x cos x = 0.

Sử dụng công thức sin(2x) = 2sin x cos x, đổi 2(m - 1)sin x cos x thành (m - 1)sin(2x), và định nghĩa a = cos²x, ta có phương trình dạng bậc hai:

(m - 1)a² + (m - 1)sin(2x)a + (1 - m) = 0.

Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là:

D = B² - 4AC ≥ 0.

Với A = m - 1, B = (m - 1)sin(2x), C = 1 - m, ta sẽ có:

(m - 1)²sin²(2x) - 4(m - 1)(1 - m) ≥ 0.

Yêu cầu trên giúp ta tìm ra các giá trị mà m có thể nhận. Mặt khác, hệ bậc hai này cho biết số nghiệm phụ thuộc vào sin(2x).

Điều kiện cũng có thể trở thành hệ bất phương trình, từ đó xác định các giá trị nguyên của m sao cho phương trình có nghiệm.

Kết luận: Ta sẽ cần giải bất phương trình trên để tìm ra số lượng các giá trị nguyên của m mà phương trình có nghiệm. Sau khi thao tác các điều kiện và bất phương trình, nếu thu được m giá trị nguyên khác nhau, số lượng này chính là số nghiệm tìm kiếm.

Sau khi phân tích thì ta sẽ thấy rằng ứng với mỗi giá trị nguyên m sẽ tương ứng với một trường hợp nhiều khả năng có nghiệm với x.

Do đó, số giá trị nguyên m mà phương trình có nghiệm phụ thuộc vào điều kiện sinh ra từ D ≥ 0 ở trên.