tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28

Để tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28, ta có thể sử dụng phương pháp giải bài toán theo hệ phương trình đồng dư.

Gọi số cần tìm là x. Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. x chia cho 8 dư 7, tức là:
x ≡ 7 (mod 8)

2. x chia cho 31 dư 28, tức là:
x ≡ 28 (mod 31)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Bắt đầu từ điều kiện thứ hai, ta có thể viết lại:
x = 31k + 28 (với k là số nguyên).

Bây giờ, thay x vào điều kiện thứ nhất:
31k + 28 ≡ 7 (mod 8)

Trước khi giải, ta tính 31 mod 8 và 28 mod 8:
- 31 mod 8 = 7
- 28 mod 8 = 4

Bây giờ, thay vào phương trình:
7k + 4 ≡ 7 (mod 8)

Giải phương trình này, ta có:
7k ≡ 3 (mod 8)

Nhân cả hai bên với 7 (có điều kiện là 7 là ngược của chính nó mod 8):
k ≡ 21 (mod 8)
k ≡ 5 (mod 8)

Vậy k có thể viết dưới dạng:
k = 8m + 5 (với m là số nguyên).

Thay k về lại x:
x = 31(8m + 5) + 28
x = 248m + 155 + 28
x = 248m + 183

Bây giờ, để x là số có ba chữ số, chúng ta tìm m sao cho x <= 999:
248m + 183 <= 999
248m <= 816
m <= 3,287 (làm tròn xuống thành 3 vì m là số nguyên)

Vậy m có thể nhận giá trị là 0, 1, 2, hoặc 3. Ta sẽ kiểm tra các giá trị này để tìm số lớn nhất có 3 chữ số:
- Nếu m = 0: x = 183
- Nếu m = 1: x = 431
- Nếu m = 2: x = 679
- Nếu m = 3: x = 927

Trong số các giá trị này, x lớn nhất là 927.

Cuối cùng, chúng ta kiểm tra xem 927 có thỏa mãn các điều kiện ban đầu không:
- 927 chia cho 8 = 115 dư 7 (thỏa mãn)
- 927 chia cho 31 = 29 dư 28 (thỏa mãn)

Vậy số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số là 927.