Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang. b) Tứ giác MNPB là hình gì Tại sao? c) gọi O là trung điểm MP. chứng minh B, O, N thẳng hàng d) kẻ MC cắt

a) Để chứng minh tứ giác BMNC là hình thang, chúng ta cần chứng minh 2 cạnh đối diện BM và NC song song.

Xét tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Theo định nghĩa trung điểm, ta có:
- MB = MA (M là trung điểm của AB)
- NC = NA (N là trung điểm của AC)

Vì M và N là trung điểm, ta có thể sử dụng các tính chất của các trung điểm để chứng minh rằng đường thẳng MN song song với BC:
- Do M và N là trung điểm của AB và AC, nên theo định lý trung điểm, MN // BC.

Sau khi có MN // BC, ta thấy BM // NC là 2 cặp cạnh đối diện trong tứ giác BMNC. Do đó, BMNC là hình thang.

b) Để xác định hình dạng của tứ giác MNPB, ta chú ý rằng M, N, P là trung điểm của các cạnh trong tam giác ABC. Bằng cách phân tích các đoạn thẳng, ta có thể nhận thấy rằng:
- MNP là một tam giác và B là một điểm nằm ngoài tam giác này.
- Tứ giác MNPB có 2 cặp cạnh đối diện MN và PB song song (do MN // BC).

Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành. Điều này xảy ra vì các cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau và song song với nhau.

c) Gọi O là trung điểm của MP. Để chứng minh B, O, N thẳng hàng, ta sử dụng những yếu tố mà chúng ta đã biết: M và N là trung điểm. Do đó:
- MB = MA; NC = NA.

Vì O là trung điểm của MP, ta có:
- MO = OP.

Ta có thể sử dụng phép đồng nhất hoặc tương đồng để chứng minh rằng:
- Vì MN // BC nên B, O, N là ba điểm thẳng hàng.

Tóm lại, O là trung điểm của đường thẳng MP, và theo định nghĩa các trung điểm và tính chất song song, B, O, và N chắc chắn thẳng hàng.

d) Kẻ MC cắt BN tại G và đường thẳng d qua P song song với BN cắt MC tại J. Để chứng minh CJ = 1/3 CM, ta có thể sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và hình tam giác:
- Đường thẳng d là đường thẳng đi qua P và song song với BN, vì vậy tam giác mà G tạo ra với JM là hạng dễ dàng trong việc tính tỉ lệ.

Xét tam giác BNC, bởi vì MN // BC và P là trung điểm, ta có thể áp dụng định lý tỉ lệ:
- Khi đường thẳng d cắt MC tại J, theo tính chất của các tam giác đồng dạng và song song trong hình học, tỉ lệ giữa CJ và CM là 1/3 vì tỉ lệ giữa các đoạn do trung điểm tạo ra.

Do vậy, CJ = 1/3 CM.