cho hình bình hành abcd tia phân giác góc c cắt bc tại e tia phân giác của góc b cắt ac tại f . chứng minh : a) BE/ED = CF/FA b) FE//AD

Để chứng minh hai điều kiện trong hình bình hành ABCD với các điểm E và F như đề bài đã nêu, ta thực hiện như sau:

a) Để chứng minh rằng BE/ED = CF/FA, ta sử dụng tính chất của góc phân giác và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được chia bởi góc phân giác.

1. Góc C: Tia phân giác CC' cắt đoạn BC tại E. Theo tính chất của góc phân giác, ta có:

BE / EC = AB / AC

2. Góc B: Tia phân giác BB' cắt đoạn AC tại F. Tương tự, theo tính chất của góc phân giác, ta có:

AF / FC = AB / AC

3. Từ đây, ta có hai tỉ lệ sau:
- BE / EC = AB / AC
- AF / FC = AB / AC

4. Vì AB = CD (tính chất hình bình hành), và AC = BD, ta có:

BE / EC = CD / BD
AF / FC = CD / BD

5. Khi đó, nối các tỉ lệ lại, ta có:
(BE / EC) * (FC / AF) = 1
Suy ra:
BE / ED = CF / FA

Do đó, ta đã chứng minh được BE/ED = CF/FA.

b) Để chứng minh rằng FE // AD, ta sử dụng tính chất của các góc đồng vị và các góc trong hình bình hành:

1. Góc FEC: Góc FEC là góc phụ thuộc vào góc C và góc B. Khi EF là tia phân giác của góc B, và do đó góc FEC sẽ bằng một nửa của góc C.

2. Góc A và góc D: Cũng như vậy, góc A là góc đồng vị với góc C. Từ tính chất của hình bình hành, chúng có độ lớn bằng nhau.

3. Vì FEC bằng nửa góc B, mà góc A và góc D bằng nhau và đều bằng nửa của góc C, nên FE // AD do tính chất của các góc đồng vị.

Như vậy, ta đã chứng minh được FE // AD.