trong không gian toạ độ Oxyz, Cho điểm A(1;0;2), B(-1;2;2), C(3;1;1) và điểm M(a;b;c) bất kì thuộc mặt phẳng Oxz sao cho biểu thức S = 2. vecto MA . vecto MB + vecto MB . vecto MC + 3 vecto MC . vecto MA. Khi đó T = 6a

Để giải bài toán, trước tiên ta cần xác định các vectơ MA, MB, và MC.

1. Tính các vectơ:
- Vectơ MA = M - A = (a - 1, b - 0, c - 2) = (a - 1, b, c - 2)
- Vectơ MB = M - B = (a + 1, b - 2, c - 2) = (a + 1, b - 2, c - 2)
- Vectơ MC = M - C = (a - 3, b - 1, c - 1) = (a - 3, b - 1, c - 1)

2. Tính các tích vô hướng:
- MA . MB = (a - 1)(a + 1) + b(b - 2) + (c - 2)(c - 2)
= a^2 - 1 + b^2 - 2b + (c^2 - 4c + 4)
= a^2 + b^2 + c^2 - 4c - 2b + 3

- MB . MC = (a + 1)(a - 3) + (b - 2)(b - 1) + (c - 2)(c - 1)
= a^2 - 2a - 3 + (b^2 - 3b + 2) + (c^2 - 3c + 2)
= a^2 + b^2 + c^2 - 2a - 3b - 3 + 2

- MC . MA = (a - 3)(a - 1) + (b - 1)b + (c - 1)(c - 2)
= (a^2 - 4a + 3) + (b^2 - b) + (c^2 - 3c + 2)
= a^2 + b^2 + c^2 - 4a - 3c + 5

3. Thay vào biểu thức S:
S = 2(MA . MB) + (MB . MC) + 3(MC . MA)

S = 2(a^2 + b^2 + c^2 - 4c - 2b + 3) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2a - 3b - 1) + 3(a^2 + b^2 + c^2 - 4a - 3c + 5)

S = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 8c - 4b + 6 + a^2 + b^2 + c^2 - 2a - 3b - 1 + 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 12a - 9c + 15

S = (2a^2 + 1a^2 + 3a^2) + (2b^2 + 1b^2 + 3b^2) + (2c^2 + 1c^2 + 3c^2) - (8c + 12c) - (4b + 3b) + (6 - 1 + 15) - 12a

S = 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 - 20c - 7b + 20 - 12a

4. Đặt S = 0, ta có phương trình:
6a^2 + 6b^2 + 6c^2 - 12a - 7b - 20 - 20c = 0

5. Bây giờ chúng ta chuyển S về dạng như trong đề:
T = 6a - 5b + 3c.

Để có thể đồng nhất, ta nhận thấy rằng các hệ số có thể được điều chỉnh bằng cách tìm phương trình từ S để kết hợp với T. Điều này sẽ đo tìm điều kiện cho a, b và c để có thể bù trừ sao cho S = T.

6. Sau khi đưa S về dạng lệnh, ta rút ra được mối quan hệ giữa a, b, và c thông qua T để tìm các giá trị cụ thể.

Do đó biểu thức cuối cùng chúng ta tìm được là T = 6a - 5b + 3c phù hợp với điều kiện trên mặt phẳng Oxz.