Cho x+y=2m +4 và x.y=m²+4m+3 Tìm giá trị của m để biểu thức A=x²+y ²đạt giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị của m sao cho biểu thức A = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất, trước tiên ta cần mối quan hệ giữa x và y từ các phương trình đã cho:

1. x + y = 2m + 4 (1)
2. x * y = m² + 4m + 3 (2)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn y theo x:

y = 2m + 4 - x

Thay y vào phương trình (2):

x * (2m + 4 - x) = m² + 4m + 3

Phương trình này là một phương trình bậc 2 theo x:

-x² + (2m + 4)x - (m² + 4m + 3) = 0

Để có hai nghiệm thực x, delta của phương trình này phải không âm:

Δ = (2m + 4)² - 4 (-1) (-(m² + 4m + 3)) >= 0

Tính delta:

Δ = (2m + 4)² + 4(m² + 4m + 3)

= (4m² + 16m + 16) + (4m² + 16m + 12)

= 8m² + 32m + 28

Để biểu thức A = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất, ta có công thức:

x² + y² = (x + y)² - 2xy

Thay (1) và (2) vào, ta có:

A = (2m + 4)² - 2(m² + 4m + 3)

A = 4m² + 16m + 16 - 2(m² + 4m + 3)

= 4m² + 16m + 16 - 2m² - 8m - 6

= 2m² + 8m + 10

Để tìm giá trị của m sao cho A nhỏ nhất, ta sẽ tìm cực tiểu của hàm bậc 2 này. Cực tiểu xảy ra tại:

m = -b/(2a) = -8/(2 * 2) = -2

Để đảm bảo giá trị này hợp lệ, ta kiểm tra delta trong điều kiện m = -2:

Δ = 8 (-2)² + 32 (-2) + 28

= 8 * 4 - 64 + 28

= 32 - 64 + 28 = -4 (delta này âm, thoả mãn điều kiện có nghiệm thực cho x và y).

Vậy giá trị của m để A = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất là m = -2.