Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A. Với AB = 3cm, AC = 4cm. Biết AG = 1/4 AC, AD = 2/3 AB, BE = 1/2 BC. Tính diện tích tam giác DEG.

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính độ dài BC:
Trong tam giác vuông ABC, áp dụng định lý Pythagoras:
BC = sqrt(AB^2 + AC^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5 cm.

2. Xác định tọa độ các điểm:
- Chọn điểm A là gốc tọa độ (0, 0).
- Điểm B sẽ có tọa độ (3, 0) vì AB = 3 cm.
- Điểm C sẽ có tọa độ (0, 4) vì AC = 4 cm.

3. Tìm tọa độ các điểm G, D, E:
- Điểm G: AG = 1/4 AC = 1/4 * 4 = 1 cm. Do đó, G có tọa độ (0, 1).
- Điểm D: AD = 2/3 AB = 2/3 * 3 = 2 cm. D có tọa độ (2, 0).
- Điểm E: BE = 1/2 BC = 1/2 * 5 = 2.5 cm. E sẽ nằm trên cạnh BC. Đầu tiên, xác định phương trình của đường thẳng BC. Đường thẳng BC có độ dốc là (4 - 0) / (0 - 3) = -4/3. Suy ra phương trình BC là y = -4/3(x - 3).
Để tìm tọa độ của E tại BE = 2.5 cm từ B về phía C, ta cần tính tỉ lệ. Tính khoảng cách từ B đến E:
Đoạn BE = 2.5 cm. Mà BC = 5 cm, nên tỉ lệ: E nằm cách B 1 nửa đoạn BC.
Tọa độ E sẽ là (3 - 2.5 3/5, 0 + 2.5 4/5) = (1.5, 2).

4. Tính diện tích tam giác DEG:
Diện tích tam giác được tính bằng công thức:
S = (1/2) * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|, với (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) lần lượt là tọa độ của điểm D, E, và G.
Thay vào:
- D(2, 0), E(1.5, 2), G(0, 1)
S = (1/2) * |2(2 - 1) + 1.5(1 - 0) + 0(0 - 2)|
= (1/2) * |2(1) + 1.5(1) + 0|
= (1/2) * |2 + 1.5|
= (1/2) * |3.5|
= 1.75 cm².

Kết quả cuối cùng là diện tích tam giác DEG là 1.75 cm².