Cho đường tròn (O;3 cm). Từ điểm A ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (với B và C là tiếp điểm) sao cho OA = 6 cm. Gọi H là giao điểm của OA và BC Chứng minh: OM ⊥ BC tại H Kẻ đường kính BD

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu của bài.

1. Chứng minh OM ⊥ BC tại H:

Ta có đường tròn (O; 3 cm) với O là tâm và bán kính R = 3 cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 6 cm. Tiếp tuyến AB và AC với B và C là tiếp điểm, từ đó, theo định lý tiếp tuyến, ta có:
AB⊥OB và AC⊥OC.

Từ tam giác OAB, theo định lý Pythagore, ta có:
OA^2 = OB^2 + AB^2
=> 6^2 = 3^2 + AB^2
=> 36 = 9 + AB^2
=> AB^2 = 27
=> AB = 3√3 cm.

Tương tự cho AC, ta cũng có AC = 3√3 cm.

Xét tam giác OAC, H là giao điểm của OA và BC. Bởi vì B và C là tiếp điểm nên góc OAB = góc OAC. Do đó, H sẽ là trung điểm của BC và do đó, OB, OC là các bán kính của đường tròn vuông góc với BC. Từ đó, có:
OM ⊥ BC tại H.

2. Chứng minh 5 điểm G, B, I, C, D cùng thuộc một đường tròn:

Gọi I là trung điểm của BC. Từ H là giao điểm của OA và BC, chúng ta có các đường kính BD và CG.

Xét tam giác OBC, có:
- OB = OC = R = 3 cm.
- B, C thuộc trên đường tròn (O; 3 cm).

Dễ thấy 2 đường kính BD và CG sẽ giúp ta chứng minh rằng G, B, I, C, D cùng thuộc một đường tròn. Bởi vì điểm I nằm trên đường thẳng BC, hơn nữa các đoạn BD, CG vuông góc nhau tại điểm O, nên chúng ta có:
G là trung điểm của đoạn BC, và BD, CG là 2 đường kính của đường tròn (G là điểm nằm trên cả 2 đường kính). Vậy 5 điểm G, B, I, C, D đều nằm trên đường tròn đó.

3. Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích hình viên phân tạo bởi dây BC và cung nhỏ BC:

Để tính độ dài cung nhỏ BC, trước tiên ta cần tìm góc AOB. Ta có tam giác OAB vuông tại điểm B, với OA = 6 cm và OB = 3 cm. Dùng định lý Pythagore, ta có:
cos(AOB) = OB / OA = 3/6 = 1/2.
=> góc AOB = 60°.

Độ dài cung BC sẽ bằng:

L = R * θ (với θ là góc tính bằng radian).
Biết rằng 60° = π/3 rad (bằng π/3 rad).

Với R = 3 cm:
L = 3 cm * π/3 = π cm.

Diện tích hình viên phân tạo bởi dây BC và cung BC được tính bằng công thức:
S = (R^2 / 2) * (θ - sin θ).

Thay các giá trị vào công thức:
S = (3^2 / 2) * (π/3 - sin(π/3))
= (9/2) * (π/3 - √3/2).

Kết quả cuối cùng sẽ là thể hiện diện tích viên phân.

Như vậy, chúng ta đã thực hiện xong ba phần của bài toán theo yêu cầu.