tìm giá trị nhỏ nhất x^4-4x^3+9x^2-20x+2044

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 20x + 2044 \), chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để xác định điểm cực tiểu.

1. Tính đạo hàm bậc nhất của \( f(x) \):

\( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 18x - 20 \)

2. Để tìm các điểm cực trị, chúng ta đặt \( f'(x) = 0 \):

\( 4x^3 - 12x^2 + 18x - 20 = 0 \)

Ta có thể chia cả phương trình cho 4:

\( x^3 - 3x^2 + \frac{9}{2}x - 5 = 0 \)

Phương trình này khá phức tạp, vì vậy chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm để tìm nghiệm.

3. Thử các giá trị x nguyên để tìm nghiệm của phương trình.

- Với \( x = 1 \):
\( 1^3 - 3(1^2) + \frac{9}{2}(1) - 5 = 1 - 3 + \frac{9}{2} - 5 = \frac{9}{2} - 8 = -\frac{7}{2} \) (không phải là nghiệm)

- Với \( x = 2 \):
\( 2^3 - 3(2^2) + \frac{9}{2}(2) - 5 = 8 - 12 + 9 - 5 = 0 = 0 \) (là nghiệm)

Nghiệm \( x = 2 \) là một nghiệm của phương trình.

4. Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích phương trình bậc ba còn lại để tìm các nghiệm còn lại:

Sử dụng phép chia đa thức để chia \( 4x^3 - 12x^2 + 18x - 20 \) cho \( x - 2 \). Kết quả là:

\( 4x^3 - 12x^2 + 18x - 20 = (x - 2)(4x^2 - 4x + 5) \)

5. Giải phương trình \( 4x^2 - 4x + 5 = 0 \):

Tính discriminant:

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 - 80 = -64 \)

Vì \( D < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực.

6. Vậy \( x = 2 \) là điểm cực trị duy nhất. Để xác định xem đó là điểm cực tiểu hay cực đại, ta tính giá trị của đạo hàm bậc hai tại \( x = 2 \):

\( f''(x) = 12x^2 - 24x + 18 \)
\( f''(2) = 12(2^2) - 24(2) + 18 = 48 - 48 + 18 = 18 \) (lớn hơn 0)

Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực tiểu.

7. Tính giá trị của \( f(2) \):

\( f(2) = 2^4 - 4(2^3) + 9(2^2) - 20(2) + 2044 \)
\( = 16 - 32 + 36 - 40 + 2044 \)
\( = -20 + 2044 = 2024 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 20x + 2044 \) là \( 2024 \).