Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC cắt AC và AB lần lượt tại N và P. a) Chứng minh ANMP là hình chữ nhật. b) Trên tia đối của

a) Để chứng minh ANMP là hình chữ nhật, ta cần chứng minh bốn góc của tứ giác ANMP đều vuông.

Xét tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Bởi vì MN song song với AB và MP song song với AC, nên ta có:

- AN vuông góc với AB (vì MN || AB)
- AM vuông góc với AC (vì MP || AC)

Như vậy, AN và MP đều vuông góc với nhau, tương tự như AM và NP. Cứ như vậy, bốn góc của tứ giác ANMP đều 90 độ, từ đó kết luận rằng ANMP là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh tứ giác AMCQ là hình thoi, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

Từ trung điểm M và đặc điểm của điểm N, ta nhận thấy rằng NM = NP (vì song song và bằng nhau). Hơn nữa, NQ cũng bằng NM (do chúng ta đã chọn Q sao cho NM = NQ).

Do đó, ta có:

- AM = AM (cạnh chung)
- NM = NQ
- MQ = CM (do M là trung điểm của BC và Q thuộc tia đối NM)

Vậy AMCQ là hình thoi vì có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

c) Với AB = 3 cm và AC = 4 cm, ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài của cạnh BC:

BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.

M là trung điểm của BC, nên độ dài BM = MC = 5/2 = 2.5 cm.

Tiếp theo, để tính AQ, ta xét tam giác vuông AMN. Đặc điểm của hình chữ nhật ANMP cho thấy PM = AN, khi đó ta cần tìm chiều dài AQ.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMN, ta có:

AN = AM = 2.5 cm.

Việc tính AQ sẽ phụ thuộc vào tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác AMN. Bằng cách sử dụng tỉ lệ, ta có thể tìm ra độ dài AQ.

d) Để tứ giác AMCQ là hình vuông, chúng ta cần có các cạnh bằng nhau và tất cả các góc đều bằng 90 độ. Điều này nghĩa là AMCQM cần thỏa mãn điều kiện:

- Cạnh AM phải bằng cạnh MQ.
- Cạnh MQ phải bằng cạnh AC.
- Cạnh AC phải bằng AQ.

Nếu AM = MQ, điều này có nghĩa là chiều dài độ dài AC, và độ dài NM phải bằng độ dài độ dài AQ, từ đó dẫn đến các tỉ lệ cụ thể trong tam giác ABC.

Cụ thể, điều kiện cho ∆ABC là cân tại A và độ dài các cạnh phải bằng nhau. Từ tỉ lệ giữa AB và AC, ta có thể thiết lập các phương trình để tìm ra những điều kiện cụ thể liên quan đến các cạnh từ đó.