Tính giới hạn:  $lim_{n o infty} dfrac{n^2+2n-2}{sqrt{2n^2-n}+n} $ $lim_{n o infty}(2n-sqrt{3n^2+n-4} $`)` Làm rõ vs ạ

Để tính giới hạn của biểu thức đầu tiên:

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n - 2}{\sqrt{2n^2 - n} + n}$$

Ta bắt đầu phân tích từng phần trong biểu thức này.

1. Tử số:
Tử số là \( n^2 + 2n - 2 \), khi \( n \to \infty \), \( n^2 \) trở thành phần lớn nhất. Do đó, tử sẽ trở thành khoảng \( n^2 \) ở giới hạn lớn.

2. Mẫu số:
Mẫu số là \( \sqrt{2n^2 - n} + n \).
- Phần \( \sqrt{2n^2 - n} \) có thể viết lại:
$$\sqrt{2n^2 - n} = \sqrt{n^2(2 - \frac{1}{n})} = n\sqrt{2 - \frac{1}{n}}.$$
Khi \( n \to \infty \), \( \sqrt{2 - \frac{1}{n}} \to \sqrt{2} \). Như vậy:
$$ \sqrt{2n^2 - n} \approx n\sqrt{2}. $$
- Tổng lại, mẫu số trở thành \( n\sqrt{2} + n = n(\sqrt{2} + 1) \) khi \( n \to \infty \).

3. Giới hạn:
Với các phân tích trên, ta có:

$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n - 2}{\sqrt{2n^2 - n} + n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n(\sqrt{2} + 1)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{\sqrt{2} + 1} = \infty. $$

Vậy giới hạn đầu tiên là \( \infty \).

---

Đối với giới hạn thứ hai:

$$\lim_{n \to \infty} (2n - \sqrt{3n^2 + n - 4})$$

1. Biểu thức bên trong:
Tính toán biểu thức trong dấu giới hạn:
- Phần \( \sqrt{3n^2 + n - 4} \) có thể viết lại tương tự như trước:
$$\sqrt{3n^2 + n - 4} = \sqrt{n^2(3 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^2})} = n\sqrt{3 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^2}}.$$
Khi \( n \to \infty \), \( \sqrt{3 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^2}} \to \sqrt{3}. $$

2. Giới hạn:
Do đó, ta có:
$$ 2n - \sqrt{3n^2 + n - 4} = 2n - n\sqrt{3} = n(2 - \sqrt{3}). $$
Khi \( n \to \infty \),
- Nếu \( 2 - \sqrt{3} > 0 \), giới hạn sẽ là \( \infty \).
- Nếu \( 2 - \sqrt{3} = 0 \), giới hạn sẽ là \( 0 \).
- Nếu \( 2 - \sqrt{3} < 0 \), giới hạn sẽ là \( -\infty \).

Bởi vì \( \sqrt{3} \approx 1.732 < 2 \), suy ra \( 2 - \sqrt{3} > 0 \).

Vì vậy, giới hạn thứ hai là \( \infty \).

Tóm lại, cả hai giới hạn đều bằng \( \infty \).