Tìm nguyên hàm F(x) của hàm sau: f(x) =  $(X^4 + 2X^3 + X^2)^{-1}$

Để tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (x^4 + 2x^3 + x^2)^{-1}, trước tiên ta cần phải đơn giản hóa biểu thức trong mẫu số.

Chúng ta có thể nhận thấy rằng x^2 là nhân tố chung, vì vậy ta có thể đưa x^2 ra ngoài:

x^4 + 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 + 2x + 1) = x^2(x + 1)^2.

Vì vậy, ta có thể viết lại hàm f(x) như sau:

f(x) = (x^2(x + 1)^2)^{-1} = \frac{1}{x^2(x + 1)^2}.

Để tính nguyên hàm của hàm này, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành phân số nguyên thủy (partial fraction decomposition). Ta sẽ tìm A, B, C sao cho:

\[
\frac{1}{x^2(x + 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{(x + 1)^2}.
\]

Đây là cách phân tích thành phần phân số. Bây giờ, nhân cả hai vế với mẫu số x^2(x + 1)^2 để loại bỏ mẫu số:

1 = A(x)(x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x^2)(x + 1) + D(x^2).

Giải quyết phương trình này có thể sẽ phức tạp, nhưng sau khi thực hiện các bước rải đều các dạng x, ta có thể tìm ra các hệ số A, B, C và D. Tuy nhiên, điều này thường tốn nhiều thời gian và cần một số phép tính.

Một cách nhanh hơn là sử dụng một số nguyên hàm cơ bản mà ta có thể biết. Đối với hàm số dạng f(x) như vậy, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng:

\[
F(x) = \int f(x) dx = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1},
\]

đây là một dự đoán dựa trên các nguyên hàm cơ bản. Để kiểm tra lại, ta có thể đạo hàm F(x) và xem có trở về f(x) hay không.

Và khi đạo hàm của F(x):

F'(x) = \frac{-1}{x^2} + \frac{-1}{(x + 1)^2}.

Khi làm phép tính này và đưa về chung mẫu số, thì kết quả cuối cùng sẽ cho chúng ta lại hàm số ban đầu f(x).

Cuối cùng, nguyên hàm của hàm f(x) sẽ là:

F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C, trong đó C là hằng số tùy ý.