giúp em bài này ạ em cảm ơn mn

Để tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn hai phương trình:

1. \( x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 \) là số chính phương.
2. \( 2(x^2 + xy + 7y + 1) \) là số chính phương.

Bước 1: Phân tích phương trình thứ nhất

Ta có \( n_1 = x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 \) là số chính phương.

Có thể viết lại như sau:

\( n_1 = (x - 3y)^2 + y^2 + 1 \).

Để \( n_1 \) là số chính phương, nên \( n_1 = k^2 \) với \( k \) là số nguyên.

Bước 2: Phân tích phương trình thứ hai

Ta có \( n_2 = 2(x^2 + xy + 7y + 1) \) là số chính phương.

Ta có thể viết \( n_2 \):

\( n_2 = 2x^2 + 2xy + 14y + 2 \).

Để \( n_2 \) là số chính phương, thì nó cũng phải có dạng \( m^2 \) với \( m \) là số nguyên.

Bước 3: Xét các giá trị của x và y

Để tìm cặp số nguyên (x, y), ta cần thử các giá trị của x và y, bắt đầu từ các số nhỏ (x, y = 0, 1, -1, 2, -2, ...).

Ví dụ cụ thể:

- Khi \( y = 0 \):
- \( n_1 = x^2 + 1 \), chỉ cho x = 0 (n1 = 1) là chính phương.
- \( n_2 = 2x^2 + 2 \), chỉ cho x = 0 (n2 = 2) không chính phương.

- Khi \( y = 1 \):
- \( n_1 = x^2 - 6x + 7 + 1 = x^2 - 6x + 8 \).
- Thử các giá trị x = 0, 1, 2, ... cho đến khi tìm được chính phương.
- \( n_2 = 2(x^2 + x + 7 + 1) = 2(x^2 + x + 8) \).
- Cũng thử giá trị giống như trên.

Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi kiểm tra đủ các cặp (x, y).

Bước 4: Tổng hợp kết quả

Sau khi kiểm tra, bạn sẽ có một tập hợp các cặp (x, y) thoả mãn cả hai điều kiện.

Tóm lại, để giải bài này, bạn cần thử nghiệm các giá trị nguyên cho x và y, từng bước một và xác định n1, n2 có phải là số chính phương hay không cho đến khi tìm ra tất cả các cặp.