giúp em nha mọi người. em cảm ơn ạ

Để giải toán này, trước tiên ta cần sử dụng các điều kiện đã cho để tìm giá trị biểu thức:

1. Điều kiện đầu tiên là (a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0, nghĩa là tất cả các tổng đó đều khác 0. Điều này có nghĩa là a, b, c không được âm và không thể có giá trị nào làm cho bất kỳ trong ba tổng này bằng 0.

2. Điều kiện thứ hai là 2a + b + c = 4. Điều kiện này xác định mối quan hệ giữa các biến a, b và c.

3. Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức:

1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) và chứng minh rằng nó bằng 0.

Đầu tiên, bằng cách sử dụng điều kiện thứ hai, ta có thể biểu diễn b và c theo a, hay ngược lại. Ví dụ, từ 2a + b + c = 4, ta có:

c = 4 - 2a - b.

Tiếp theo, ta cần thử và biểu diễn tổng:

Tổng = 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)
= 1/(a+b) + 1/(b + (4 - 2a - b)) + 1/((4 - 2a - b) + a)
= 1/(a+b) + 1/(4 - 2a) + 1/(4 - a - b).

Để tính giá trị biểu thức này, ta có thể tìm CLTN (các yếu tố chung) hoặc biến đổi thành một biểu thức khác dễ hơn.

Tuy nhiên, ở đây ta sẽ xem xét nếu a, b, c được chọn bằng nhau; giả sử a = b = c = 1. Lúc này ta có:

1. 2a + b + c = 2(1) + 1 + 1 = 4 (đảm bảo điều kiện thứ hai).
2. (1+1)(1+1)(1+1) = 2 2 2 = 8 ≠ 0 (đảm bảo điều kiện thứ nhất).

Khi đó, ta tính tổng:

Tổng = 1/(1+1) + 1/(1+1) + 1/(1+1) = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2, không bằng 0.

Tuy nhiên, thành phần thứ hai của biểu thức

2a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 2(1)/(1+1) + 1/(1+1) + 1/(1+1) = 2*(1/2) + 1/2 + 1/2 = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Cầm lại các điều kiện đã cho và thử các giá trị khác nhau cho a, b và c sẽ cho thấy rằng biểu thức sẽ không bao giờ bằng 0.

Vì vậy, với điều kiện đã cho và phép tính trên ta nhận thấy rằng biểu thức đầu tiên không đạt giá trị 0 do điều kiện cấu tạo của các số thực. Nên biểu thức không bao giờ bằng 0 khi thỏa mãn điều kiện đầu bài đã nêu.