Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là - 1 và 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3. a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số đó. b) Tìm toạ độ các giao điểm

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng bước một.

a) Đầu tiên, hàm số có dạng y = ax² + bx + c, và nó cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ -1 và 3. Điều này có nghĩa là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 có dạng x1 = -1 và x2 = 3. Do đó, ta có thể viết hàm số dưới dạng theo tích của các yếu tố:

y = a(x + 1)(x - 3)

Từ đó, để tìm hệ số b và c, ta có thể mở rộng phương trình:

y = a(x² - 2x - 3)

Vậy ta có b = -2a và c = -3a.

Bên cạnh đó, đồ thị hàm số này cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3. Tức là khi x = 0, y = 3. Sử dụng điều này, ta đặt x = 0 vào phương trình:

y = a(0 + 1)(0 - 3) = -3a.

Để áp dụng điều kiện y(0) = 3, ta lập phương trình sau:

-3a = 3
=> a = -1.

Giờ ta có:

b = -2(-1) = 2
c = -3(-1) = 3.

Vậy hàm số trở thành:

y = -1(x + 1)(x - 3) = -x² + 2x + 3.

Ta khảo sát sự biến thiên của hàm số này bằng cách tìm đạo hàm:

y' = -2x + 2.

Giải phương trình y' = 0 để tìm điểm cực trị:

-2x + 2 = 0
=> x = 1.

Ta kiểm tra sự biến thiên của hàm số qua bảng biến thiên:

- Khi x < 1, y' > 0 (hàm số tăng)
- Khi x = 1, y' = 0 (cực đại)
- Khi x > 1, y' < 0 (hàm số giảm)

Để tìm giá trị cực đại tại x = 1, ta tính:

y(1) = -1(1 + 1)(1 - 3) = -1(2)(-2) = 4.

Bảng biến thiên như sau:

- Cực đại tại (1, 4)
- Chỉ số hội tụ là (-∞, 1) y tăng, (1, +∞) y giảm.

b) Tiếp theo, để tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng r = x + 1, ta giải phương trình:

-x² + 2x + 3 = x + 1.

Đưa về dạng phương trình bậc hai:

-x² + 2x - x + 3 - 1 = 0
=> -x² + x + 2 = 0
=> x² - x - 2 = 0.

Phương trình này có các hệ số a = 1, b = -1, c = -2. Sử dụng công thức nghiệm:

x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
=> x = [1 ± sqrt((-1)² - 4(1)(-2))] / 2(1)
=> x = [1 ± sqrt(1 + 8)] / 2
=> x = [1 ± 3] / 2.

Ta có hai nghiệm:

x1 = (1 + 3) / 2 = 2,
x2 = (1 - 3) / 2 = -1.

Tìm tung độ tương ứng để xác định tọa độ giao điểm:

- Với x = 2, y = r(2) = 2 + 1 = 3, tọa độ là (2, 3).
- Với x = -1, y = r(-1) = -1 + 1 = 0, tọa độ là (-1, 0).

Vậy các giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng r = x + 1 là (2, 3) và (-1, 0).