Anh chị giỏi toán l8 cứu emm với

Từ phương trình

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{4}\),

ta sẽ đưa về một phương trình đơn giản hơn. Thực hiện quy đồng mẫu cho hai biểu thức bên trái:

\(\frac{y - x}{xy} = -\frac{1}{4}\).

Sau đó, nhân chéo ta có:

\(4(y - x) = -xy\).

Điều này có thể viết lại thành:

\(4y - 4x + xy = 0\).

Ráp lại, ta được phương trình:

\(xy - 4y + 4x = 0\).

Ta sẽ biện luận theo x và y sao cho phương trình này có nghiệm nguyên dương.

Đặt \(y = k\), ta có hệ thức:

\(x = \frac{4k}{k - 4}\).

Để x là số nguyên, \(k - 4\) phải là ước của \(4k\).

Giả sử \(k - 4 = d\) với \(d\) là ước của \(4k\).

Ta có \(k = d + 4\) và thay vào sẽ trở thành:

\(x = \frac{4(d + 4)}{d} = 4 + \frac{16}{d}\).

Để x là nguyên, thì d phải là ước của 16 (các ước của 16 là 1, 2, 4, 8, 16).

- Nếu \(d = 1\), \(k = 5\), \(x = 20\).
- Nếu \(d = 2\), \(k = 6\), \(x = 12\).
- Nếu \(d = 4\), \(k = 8\), \(x = 8\).
- Nếu \(d = 8\), \(k = 12\), \(x = 6\).
- Nếu \(d = 16\), \(k = 20\), \(x = 5\).

Cho tất cả các cặp (x, y) sẽ cho ra các nghiệm sau:

1) (20, 5)
2) (12, 6)
3) (8, 8)
4) (6, 12)
5) (5, 20)

Tuy nhiên, cần lưu ý đến điều kiện \(x \neq y\).

Những cặp mà \(x = y\) sẽ bị loại:

Cuối cùng, kết quả sẽ là các cặp (20, 5), (12, 6), (6, 12), (5, 20).