Làm giúp mình câu 11

Để giải bài toán này, chúng ta cần xét hàm số được cho trong đề bài:

f(x) =
{
1, khi x > 2
(m^3/(x-2), khi x ≤ 2
(-1/(x-8), khi x ≤ 2
}

Hàm số này có giới hạn tại x = 2. Để hàm số này có giới hạn tại x = 2, các phần của hàm số phải đồng nhất ở x = 2.

Ta sẽ xét giới hạn hai bên tại x = 2.

1. Tính giới hạn khi x tiến đến 2 từ phía bên trái (x → 2^-):
Khi x ≤ 2, ta sử dụng phần hàm thứ hai:
lim (x → 2^-) f(x) = m^3 / (2 - 2) = m^3 / 0, với điều này thì nó sẽ không xác định nếu m ≠ 0. Nếu m = 0 thì giới hạn sẽ là 0.

2. Tính giới hạn khi x tiến đến 2 từ phía bên phải (x → 2^+):
Khi x > 2, ta sử dụng phần hàm đầu tiên:
lim (x → 2^+) f(x) = 1.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2, ta cần hai giới hạn này bằng nhau:

m^3 / (2 - 2) (không xác định hoặc tiến tới 0) phải bằng 1 (khi m = 0 cận trái, còn m ≠ 0 thì nó không xác định). Do đó, chỉ có m = 0 mới làm cho giới hạn này trở thành một số có giới hạn:

Kết luận:

Khi m = 0 thì hàm số trở thành một hàm liên tục và có giới hạn tại x = 2. Các giá trị khác của m sẽ khiến hàm không có giới hạn tại 2.

Vậy giá trị của m mà hàm số có giới hạn tại x = 2 là m = 0.