Cho Tam giác ABC cân tại A, AD là đường trung tuyến. Gọi M là trung điểm của AB, trên tia đối của tia MD lấy điểm E sao cho ME = MD. a) Chứng minh tứ giác ADBE là hình chữ nhật b) Biết AB = 10 cm, BC = 12

a) Để chứng minh tứ giác ADBE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cạnh của nó vuông góc với nhau và có độ dài đối diện bằng nhau.

- Xét tam giác cân ABC, bởi vì AD là trung tuyến từ đỉnh A xuống cạnh BC, ta có:
- M là trung điểm của AB, nghĩa là AM = MB.
- Vì tứ giác ADBE có điểm M ở giữa, nên EM = MD, và do đó ME sẽ có cùng độ dài với MD.

- Ta có tứ giác ADBE:
1. AD là trung tuyến, tức là D chia BC thành hai đoạn bằng nhau, hoặc BD = DC.
2. Xét ∆AMD và ∆MDE, ta biết rằng: AM = MB, ME = MD và AD là trung tuyến, góc AMD = góc MDE.

- Vì hai tam giác AMD và MDE có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau (góc vuông), nên theo điều kiện cạnh và góc, ta có:
- AD ⊥ ME (góc vuông)
- BD ⊥ AE (góc vuông)

- Như vậy, mọi góc trong tứ giác ADBE đều là 90 độ, và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, chứng tỏ rằng ADBE là hình chữ nhật.

b) Để tính độ dài trung tuyến AD trong tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến:

AD = (1/2) * √(2AB² + 2AC² - BC²)

Trong tam giác ABC cân tại A, ta có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Thay các dữ liệu vào công thức:

AD = (1/2) √(2 10² + 2 * 10² - 12²)
= (1/2) * √(200 + 200 - 144)
= (1/2) * √(256)
= (1/2) * 16
= 8 cm.

Vậy độ dài trung tuyến AD là 8 cm.

c) Để tứ giác ADBE là hình vuông, ta cần hai điều kiện:
1. Tất cả bốn cạnh của tứ giác ADBE phải bằng nhau.
2. Các góc của tứ giác phải đều là 90 độ.

Từ điều kiện đã chứng minh tứ giác ADBE là hình chữ nhật ở phần a), nên điều kiện thứ nhất đã được thỏa mãn. Để thỏa mãn điều kiện thứ hai, chúng ta cần đảm bảo rằng:

- AE = DE và AD = BD.

Vì AE = DM và AD = DM, nên ta có: AE = AD. Để có AE = AD, tức là:

ME = MD, AD = 8 cm.

Mặt khác, vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, để AB = AD = AE = BD, cần có điều kiện:

AB = AC = AD = x, ở đây x > 0.

Như vậy, để tứ giác ADBE là hình vuông, điều kiện của tam giác ABC là độ dài của các cạnh phải thỏa mãn: AB = AC > 8 cm.