giúp mk nhanh vs ạ mk sẽ vote đầy đủ 5 sao ạ!!!!!

a) Để chứng minh biểu thức \( \frac{x^2 + y^2}{xy} \geq \frac{5}{2} \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng-trung bình nhân).

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{x^2 + y^2}{2} \geq \sqrt{x^2y^2} = xy
\]

Nhân cả hai vế với 2, ta được:

\[
x^2 + y^2 \geq 2xy
\]

Khi đó, ta chuyển qua biểu thức cần chứng minh:

\[
\frac{x^2 + y^2}{xy} \geq \frac{2xy}{xy} = 2
\]

Tuy nhiên, để chứng minh \( \frac{x^2 + y^2}{xy} \geq \frac{5}{2} \), chúng ta cần điều kiện bổ sung:

Áp dụng AM-GM cho \( x^2 \) và \( y^2 \):

\[
\frac{x^2 + y^2}{2} \geq \sqrt{x^2y^2} = xy
\]

Với \( x^2 + y^2 \geq 2xy \), ta cần tìm một cách khác, bằng cách giả sử \( x = ky \) cho một hằng số \( k > 0 \). Khi đó ta có:

\[
x^2 + y^2 = k^2y^2 + y^2 = (k^2 + 1)y^2
\]
\[
xy = ky^2
\]

Đưa về biểu thức cần chứng minh:

\[
\frac{(k^2 + 1)y^2}{ky^2} = \frac{k^2 + 1}{k}
\]

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{k^2 + 1}{k} \geq \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2(k^2 + 1) \geq 5k \Leftrightarrow 2k^2 - 5k + 2 \geq 0
\]

Giải bất phương trình bậc hai \( 2k^2 - 5k + 2 \), ta tính delta:

\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0
\]

Vậy có hai nghiệm:

\[
k = \frac{5 \pm 3}{4} = 2 \text{ hoặc } \frac{1}{2}
\]

Bất phương trình 2k^2 - 5k + 2 ≥ 0 đúng cho \( k \leq \frac{1}{2} \) hoặc \( k \geq 2 \).

Từ đó, \( x \) và \( y \) có thể nhận giá trị phù hợp để biểu thức nghiệm đúng.

b) Với \( M = \frac{x^2 + y^2}{xy} \), chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \).

Với AM-GM ta có:

\[
M = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}
\]

Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi \( x = y \). Nếu \( x > 3y \), \( M \) sẽ lớn hơn 2, do đó giá trị nhỏ nhất của \( M \) là 2 khi \( x = y > 0 \).