Phân tích đa thức thành nhân tử : `x^4 + x^2 + 1`

Để phân tích đa thức `x^4 + x^2 + 1` thành nhân tử, ta sẽ bắt đầu bằng cách đặt `y = x^2`. Khi đó, đa thức trở thành:

`y^2 + y + 1`.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm nghiệm của đa thức này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Công thức này cho một đa thức có dạng `ay^2 + by + c` là:

`y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)`,

Trong trường hợp này, `a = 1`, `b = 1`, và `c = 1`.

Tính b discriminant:

`b^2 - 4ac = 1^2 - 411 = 1 - 4 = -3`.

Vì discriminant là âm, phương trình `y^2 + y + 1 = 0` không có nghiệm thực, điều này cho thấy rằng đa thức này không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số thực.

Mặc dù vậy, chúng ta có thể tìm các nghiệm phức của đa thức này:

`y = (-1 ± √(-3)) / (2*1) = (-1 ± i√3) / 2`.

Vì vậy, các nghiệm phức của đa thức là:

`y1 = (-1 + i√3) / 2` và `y2 = (-1 - i√3) / 2`.

Quay lại với biến `x`, ta có:

`x^2 = y1` và `x^2 = y2`.

Để có được các giá trị của `x`, ta lấy căn bậc hai của các nghiệm:

`x = ±√((-1 + i√3)/2)` và `x = ±√((-1 - i√3)/2)`.

Tuy nhiên, việc phân tích này vẫn có thể được giải thích dưới dạng nhân tử, ta có thể viết:

`x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + (-1 + i√3)/2)(x^2 + (-1 - i√3)/2)`.

Như vậy, đa thức `x^4 + x^2 + 1` không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực, nhưng có thể phân tích thành nhân tử trong hệ số phức.