Giải 5 câu tìm miền hội tụ và tính tổng các chuỗi luỹ thừa

1) un(x) = (3n + 1)x^(3n), n ≥ 1

Để tìm miền hội tụ, ta sử dụng tiêu chí tỉ số. Ta có:

L = lim (n→∞) |un+1(x) / un(x)| = lim (n→∞) |(3(n+1) + 1)x^(3(n+1)) / (3n + 1)x^(3n)| = lim (n→∞) |(3n + 4)x^3 / (3n + 1)| = |x|^3 * 3.

Áp dụng tiêu chí hội tụ ban đầu:

Nếu L < 1 thì chuỗi hội tụ.
Nếu L > 1 thì chuỗi phân kỳ.

Vậy điều kiện hội tụ là:

3|x|^3 < 1 → |x| < (1/√3).

Tổng của chuỗi này không được tính trực tiếp vì nó không phải là chuỗi geo.

2) un(x) = (2^n + 3^n)x^n, n ≥ 0

Áp dụng tiêu chí tỉ số:

L = lim (n→∞) |un+1(x)/un(x)| = lim (n→∞) |(2^(n+1) + 3^(n+1))(x^(n+1)) / (2^n + 3^n)(x^n)| = lim (n→∞) |(2 3^n)(x) + 3 x^n| / |(3^n + 2^n)| = |3x|.

Điều kiện hội tụ là:

|3x| < 1 → |x| < 1/3.

Tổng của chuỗi này bằng (1 - 3x)^(-1) theo công thức chuỗi gói.

3) un(x) = (n^2 + 3n - 1) * (x^n / n!), n ≥ 0

Áp dụng tiêu chí tỉ số:

L = lim (n→∞) |un+1(x)/un(x)| = lim (n→∞) |((n+1)^2 + 3(n+1))(x^(n+1)/(n+1)!)) / ((n^2 + 3n - 1)(x^n/n!))| = lim (n→∞) |((n+1)^2 + 3(n+1)) / (n^2 + 3n - 1)| * |x|.

Giải N = n, ta có:

L = |x|.

Miền hội tụ là |x| < 1.

4) un(x) = cha^n * x^n, a > 0, n ≥ 0

Áp dụng tiêu chí tỉ số:

L = lim (n→∞) |un+1(x)/un(x)| = lim (n→∞) |cha^(n+1) x^(n+1) / (cha^n x^n)| = |a * x|.

Miền hội tụ là |a * x| < 1 → |x| < 1/a.

5) un(x) = (-1)^(n-1) * x^(n-1) / n, n ≥ 1

Áp dụng tiêu chí tỉ số:

L = lim (n→∞) |un+1(x)/un(x)| = lim (n→∞) |(-1)^n x^n / (n+1) n / (-1)^(n-1) x^(n-1)| = lim (n→∞) |x| n / (n+1) = |x|.

Miền hội tụ là |x| < 1.

Tổng cũng khó tính trực tiếp, có thể sử dụng nguyên lý định nghĩa chuỗi luỹ thừa.