Tìm giới hạn một bên và giới hạn nếu có của các hàm số sau

a)
- Khi x tiến tới 1 từ bên trái (x → 1⁻), ta xem hàm y = f(x) = 2/x. Tính giới hạn:
lim (x → 1⁻) 2/x = 2/1 = 2.

- Khi x tiến tới 1 từ bên phải (x → 1⁺), ta sử dụng hàm y = f(x) = 3 - x². Tính giới hạn:
lim (x → 1⁺) (3 - x²) = 3 - 1² = 2.

=> Giới hạn một bên tại x = 1 là đều bằng 2, nên giới hạn tại đó tồn tại: lim (x → 1) f(x) = 2.

b)
- Khi x tiến tới 1 từ bên trái (x → 1⁻), ta sử dụng hàm y = f(x) = 3x + 5. Tính giới hạn:
lim (x → 1⁻) (3x + 5) = 3*1 + 5 = 8.

- Khi x tiến tới 1 từ bên phải (x → 1⁺), ta sử dụng hàm y = f(x) = 3x² - 1. Tính giới hạn:
lim (x → 1⁺) (3x² - 1) = 3*1² - 1 = 2.

=> Giới hạn một bên tại x = 1 không giống nhau, do đó giới hạn tại đó không tồn tại.

c)
- Khi x tiến tới -2 từ bên trái (x → -2⁻), ta sử dụng hàm y = f(x) = 2/x - 3. Tính giới hạn:
lim (x → -2⁻) (2/x - 3) = 2/(-2) - 3 = -1 - 3 = -4.

- Khi x tiến tới -2 từ bên phải (x → -2⁺), cũng sử dụng hàm y = f(x) = 2/x - 3. Tính giới hạn:
lim (x → -2⁺) (2/x - 3) = -4.

=> Giới hạn một bên tại x = -2 đều bằng -4, nên giới hạn tại đó tồn tại: lim (x → -2) f(x) = -4.

d)
- Khi x tiến tới 2 từ bên trái (x → 2⁻), ta sử dụng hàm y = f(x) = (x² - 4)/(x - 2). Lưu ý, tại x = 2, biểu thức này không xác định, ta cần rút gọn:
lim (x → 2⁻) [(x + 2)(x - 2)/(x - 2)] = lim (x → 2⁻) (x + 2) = 2 + 2 = 4.

- Khi x tiến tới 2 từ bên phải (x → 2⁺), vẫn sử dụng hàm y = f(x) = (x² - 4)/(x - 2), tính giống như trên:
lim (x → 2⁺) [(x² - 4)/(x - 2)] = lim (x → 2⁺) (x + 2) = 4.

=> Giới hạn một bên tại x = 2 đều bằng 4, nên giới hạn tại đó tồn tại: lim (x → 2) f(x) = 4.

e)
- Khi x tiến tới -1 từ bên trái (x → -1⁻), ta sử dụng hàm y = f(x) = (2x³ + 5x + 3)/(x + 1). Biểu thức này không xác định khi x = -1, ta cần rút gọn:
Giới hạn này chỉ xảy ra khi x tiến tới -1 từ bên trái, ta sẽ tính:
lim (x → -1) (2x³ + 5x + 3)/(x + 1) = lim (x → -1) (2x² + 3)/(1) = 2*(-1)² + 3 = 5.

- Khi x tiến tới -1 từ bên phải (x → -1⁺), tính tương tự:
lim (x → -1) (2x³ + 5x + 3)/(x + 1) = 5.

=> Giới hạn một bên tại x = -1 đều bằng 5, nên giới hạn tại đó tồn tại: lim (x → -1) f(x) = 5.