Cho đường tròn (O;R) vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại một điểm nằm trong đường tròn.Chứng mình diện tích ABCD bé hơn hoặc bằng 2R²Giúp elm vớiii

Để chứng minh diện tích của tứ giác ABCD nhỏ hơn hoặc bằng 2R², ta sẽ sử dụng tính chất của hình tròn và diện tích của các tam giác.

Gọi O là tâm của đường tròn (O; R) và R là bán kính của đường tròn. Hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm E, nằm trong đường tròn. Vì AB và CD vuông góc với nhau, nên ta có thể coi E là giao điểm và tứ giác ABCD sẽ được chia thành 4 tam giác: AOE, BOE, COE, và DOE.

1. Tính diện tích của các tam giác:
- Diện tích của tam giác AOE là \( S_{AOE} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OE \cdot \sin(\angle AOE) \).
- Tương tự ta có diện tích các tam giác còn lại: \( S_{BOE}, S_{COE}, S_{DOE} \).

2. Diện tích của tứ giác ABCD:
- Diện tích của tứ giác ABCD được tính bằng tổng diện tích của 4 tam giác, tức là:
\[
S_{ABCD} = S_{AOE} + S_{BOE} + S_{COE} + S_{DOE}.
\]

3. Sử dụng bất đẳng thức về tổng diện tích:
- Mỗi tam giác đều có một trong các cạnh là bán kính R của đường tròn (từ O đến A, B, C hay D). Ký hiệu cao từ E đến dây AB là h1 và từ E đến dây CD là h2. Ta có:
\[
S_{AOE} \leq \frac{1}{2} R \cdot h_1, \quad S_{BOE} \leq \frac{1}{2} R \cdot h_1,
\]
\[
S_{COE} \leq \frac{1}{2} R \cdot h_2, \quad S_{DOE} \leq \frac{1}{2} R \cdot h_2.
\]

4. Kết hợp và tối ưu hóa:
- Tổng diện tích từng tam giác được thu gọn lại và có thể tính như sau:
\[
S_{ABCD} \leq \frac{R}{2} \cdot h_1 + \frac{R}{2} \cdot h_1 + \frac{R}{2} \cdot h_2 + \frac{R}{2} \cdot h_2 = R(h_1 + h_2).
\]
- Theo định nghĩa chiều cao h1 và h2 có tổng bé hơn hoặc bằng 2 lần bán kính R (tại điểm E), tức là \( h_1 + h_2 \leq 2R \).

5. Kết luận:
- Như vậy, diện tích của tứ giác ABCD sẽ có giới hạn như sau:
\[
S_{ABCD} \leq R \cdot (h_1 + h_2) \leq R \cdot 2R = 2R².
\]
- Từ đó, chúng ta kết luận rằng diện tích của tứ giác ABCD luôn bé hơn hoặc bằng 2R².