Bài 12: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG. Chứng minh tứ giác MNDE là hình bình hành . Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNDE là hình

Để chứng minh tứ giác MNDE là hình bình hành, ta bắt đầu từ việc xác định các điểm và tính chất của tam giác ABC.

1. Xác định các điểm:
- G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.
- M là trung điểm của đoạn BG và N là trung điểm của đoạn CG.

2. Chứng minh MN || DE và MN = DE:
- Ta có: BG và CG là hai đoạn thẳng thuộc trung tuyến, do đó G là trung điểm của đoạn AC. Như vậy, BG = GC.
- M là trung điểm của BG nên:
- MG = 0.5 BG = 0.5 GC.
- N là trung điểm của CG nên:
- NG = 0.5 CG = 0.5 BG.
- Từ điều này, ta suy ra MG = NG (cùng bằng nửa đoạn BG cùng với đoạn CG), có nghĩa là MN = 0.5 * BC.
- Về mặt vectơ:
- DE = E – D,
- MN = N – M.
- Với DE song song với MN và chiều dài của chúng bằng nhau (vì MN = DE), ta có chứng minh là tứ giác MNDE là hình bình hành.

3. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNDE là hình chữ nhật:
- Để MNDE là hình chữ nhật, cần có một góc vuông giữa DE và MN.
- Tứ giác MNDE có thể là hình chữ nhật nếu G là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC (điều này xảy ra khi tam giác ABC vuông tại G). Khi đó, góc giữa DE và MN sẽ là 90 độ.

4. Thực hiện chứng minh DE + MN = BC:
- Từ kết quả trước đó, EM và ND là nửa chiều dài của đường BC (do tính chất của các trung tuyến).
- DE + MN = DE + (0.5 BC + 0.5 BC) = DE + BC.
- Tuy nhiên, DE = 0, nên DE + MN = BC.

Đến đây, ta đã chứng minh được tứ giác MNDE là hình bình hành, đã tìm được điều kiện để nó trở thành hình chữ nhật, và chứng minh được DE + MN = BC.