Bài 1: Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia IA lấy D sao cho IA=ID.  a. Chứng minh tam giác IAC = tam giác IDB. b. Kẻ AM cuông góc BC, DN vuông góc BC (M,N thuộc BC). Chứng minh I là trung điểm

a. Để chứng minh tam giác IAC = tam giác IDB, chúng ta sẽ sử dụng các yếu tố như đoạn thẳng, góc và tính đối xứng.

- Chúng ta có I là trung điểm của BC, vì vậy IB = IC.
- Xét hai tam giác IAC và IDB:
+ Đầu tiên, chúng ta có IA = ID (theo giả thiết).
+ Thứ hai, góc AIC và góc BID là góc đối đỉnh, nên AIC = BID.
- Từ đó, chúng ta có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau:
+ IA = ID (giả thiết)
+ IB = IC (I là trung điểm)
+ góc AIC = góc BID (góc đối đỉnh)
- Do đó, theo tiêu chuẩn (cạnh - cạnh - góc), hai tam giác IAC và IDB bằng nhau.

b. Để chứng minh I là trung điểm của MN, ta thực hiện các bước sau:

- Kẻ AM vuông góc với BC và DN vuông góc với BC, tạo ra các điểm M, N nằm trên BC.
- Do AM và DN đều vuông góc với BC, nên chúng ta có thể xem MN là một đoạn thẳng vuông góc với BC.
- Để chứng minh I là trung điểm của MN, chúng ta cần chỉ ra rằng IM = IN.
- Ta có:
+ Tam giác AIM và IBN đều có cạnh phụ là IA và IB đều bằng nhau.
+ EM và EN là khoảng cách từ I đến đoạn BC, với IM = IN do I là trung điểm của BC.
- Do đó, chúng ta có IM = IN, suy ra I là trung điểm của MN.

c. Để chứng minh P, N, D thẳng hàng, ta có các bước như sau:

- Tia AM cắt BD tại Q, tia QI cắt AC tại P.
- Ta đã chứng minh PM = PN khi N là trung điểm của MN.
- Để chứng minh hai điểm P và N cùng nằm trên đường thẳng với D, chúng ta cần chỉ ra rằng góc ADN là góc vuông. Nếu AM và DN đều vuông góc với BC, thì Q và D là các điểm trên đường thẳng cùng hướng.
- Kết hợp với việc IM = IN, có nghĩa là I nằm chung trên đường thẳng và tia QI cắt cùng một đường thẳng.
- Suy ra, P, N, D thẳng hàng nhờ tính chất đối xứng và vị trí của I trên đoạn thẳng MN.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng P, N, D thẳng hàng dựa trên các mối quan hệ về đoạn thẳng và góc giữa các điểm trong tam giác.