Bài 5:Xét tổng P+Q P+Q=(2.101+3.100+4.99+.....+99.4+100.3+101.2 và Q=2².3²+.....+98²+99²+100²+101²                      Hãy tính tổng P+Q

Để tính tổng \( P + Q \), ta cần phân tích từng thành phần \( P \) và \( Q \) một cách chi tiết.

Đầu tiên, xét tổng \( P \):

\[
P = 2 \cdot 101 + 3 \cdot 100 + 4 \cdot 99 + \ldots + 99 \cdot 4 + 100 \cdot 3 + 101 \cdot 2
\]

Tổng này có thể nhận thấy rằng \( P \) là một tổng tích của các số từ \( 2 \) đến \( 101 \) với các số từ \( 101 \) đến \( 2 \). Ta có thể sắp xếp lại tổng này để dễ tính toán hơn. Từ đó, ta sẽ thấy rằng:

\[
P = \sum_{k=2}^{101} k(103-k)
\]

Trong đó, \( k \) đi từ \( 2 \) đến \( 101 \) và \( 103-k \) là giá trị tương ứng của nó. Ta có thể tính tổng trên:
- Mỗi lần cộng vào, chúng ta có thể nhấn mạnh rằng \( k(103 - k) = 103k - k^2 \).

Vì vậy, ta có:

\[
P = 103 \sum_{k=2}^{101} k - \sum_{k=2}^{101} k^2
\]

Ta tính từng phần một:

1. Tính \( \sum_{k=2}^{101} k \):
- Tổng số hạng từ \( 1 \) đến \( 101 \) là \( \frac{101 \cdot 102}{2} = 5151 \).
- Bỏ đi hạng \( 1 \), ta có:

\[
\sum_{k=2}^{101} k = 5151 - 1 = 5150
\]

2. Tính \( \sum_{k=2}^{101} k^2 \):
- Tổng bình phương của các số từ \( 1 \) đến \( n \) được tính bằng công thức:

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Áp dụng cho \( n = 101 \):

\[
\sum_{k=1}^{101} k^2 = \frac{101 \cdot 102 \cdot 203}{6} = 348551
\]

Bỏ đi hạng \( k=1 \):

\[
\sum_{k=2}^{101} k^2 = 348551 - 1 = 348550
\]

3. Tổng hợp lại để tìm \( P \):

\[
P = 103 \cdot 5150 - 348550
\]
\[
P = 530450 - 348550
\]
\[
P = 181900
\]

Tiếp theo, ta tính \( Q \):

\[
Q = 2^2 + 3^2 + \ldots + 98^2 + 99^2 + 100^2 + 101^2
\]

Tương tự như trước, ta sử dụng công thức tổng bình phương:

\[
Q = \sum_{k=2}^{101} k^2 = \sum_{k=1}^{101} k^2 - 1^2 = 348551 - 1 = 348550
\]

Cuối cùng, tính tổng \( P + Q \):

\[
P + Q = 181900 + 348550 = 530450
\]

Vậy, tổng \( P + Q \) là \( 530450 \).