Giải chi tiết giúp câu này. Thanks

1. Chứng minh rằng GI || (SBD) và (BGI) || (SCD):

Để chứng minh rằng GI || (SBD), ta xem xét hai tam giác SAB và ABD. Điểm N là trung điểm của SA. Từ đó, khi kẻ đoạn thẳng NG với G là trọng tâm của tam giác SAB, ta có:

- Trong tam giác SAB, trọng tâm G chia đoạn nối từ đỉnh S đến cạnh đối diện AB thành hai đoạn tỉ lệ 2:1. Do N là trung điểm của SA, ta có NG = (2/3)NS và AN = (1/3)NS.

- Vậy vì G là trọng tâm của tam giác nên đường thẳng GI đi qua G và N sẽ song song với cạnh đối diện (SD) của tam giác SBD.

- Do đó, ta có GI || (SBD).

Tiếp theo, để chứng minh (BGI) || (SCD):

- Lúc này, chúng ta xét tam giác ABD. Vì G là trọng tâm của tam giác SAB, và N là trung điểm của SA.

- Từ G, kẻ đường thẳng BG, vì G là trọng tâm, nên độ dài BG:GA = 2:1. Điều này cho thấy (BGI) là một mặt phẳng chứa G và B.

- Cạnh CD là cạnh đối diện trong tam giác SCD. Sẽ có tương tự là (BGI) || (SCD).

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu: GI || (SBD) và (BGI) || (SCD).

2. Tìm giao điểm F của DN và mặt phẳng (SBC):

Để tìm giao điểm của đường thẳng DN với mặt phẳng (SBC), trước hết cần xác định tọa độ các điểm.

- Điểm D có thể được biểu diễn bằng tọa độ nào đó tương ứng với hệ tọa độ trong không gian.

- Đặt D(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3), S(x4, y4, z4).

- Đường thẳng DN có thể được biểu diễn dưới dạng tham số. Gọi N là trung điểm của SA, nên tọa độ của N sẽ là (xN, yN, zN) = ((x4 + x1)/2, (y4 + y1)/2, (z4 + z1)/2).

- Với mặt phẳng (SBC), ta có thể lập phương trình mặt phẳng từ ba điểm S, B, và C. Mặt phẳng (SBC) sẽ có phương trình ax + by + cz + d = 0.

- Để tìm giao điểm F của DN và (SBC), ta giải hệ phương trình do đường thẳng DN và phương trình mặt phẳng (SBC) tạo ra. Điểm F sẽ là tọa độ của giao điểm cho thấy điểm nằm trên cả đường thẳng và mặt phẳng đó.

Cuối cùng, ta sẽ tìm được tọa độ của điểm F, giao điểm giữa DN và mặt phẳng (SBC).