Cho hình thang ABCD (AB // CD )một đường thẳng song song với hai đáy AB cắt các đoạn thẳng AB, AC, BC theo thứ tự tại M , E , N chứng minh rằng : A ) MD /AD = NC /BC B) AM/AD+CN/CB =1

Để chứng minh các tỉ lệ trong hình thang ABCD, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và tính chất đồng dạng của các tam giác.

A) Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{MD}{AD} = \frac{NC}{BC} \):

1. Gọi \( AB \) và \( CD \) là hai đáy của hình thang với \( AB \parallel CD \).
2. Vì \( MN \) là đường thẳng song song với hai đáy \( AB \) và \( CD \), nên theo định lý tỉ lệ (hoặc định lý đường song song), ta có tỉ số của các đoạn thẳng tương ứng.

Cụ thể, do \( AB \parallel CD \) và \( MN \) cũng song song với hai đáy này, ta có:

\[
\frac{MD}{AD} = \frac{MC}{BC}
\]

Do đó, ta cần chứng minh:

\[
\frac{MC}{BC} = \frac{NC}{BC}
\]

Vì \( M \) và \( N \) nằm trên các đoạn thẳng và có tỉ lệ tương ứng với các đoạn thẳng bên kia, do đó ta có:

\[
\frac{MD}{AD} = \frac{NC}{BC} \quad \text{(đồng dạng)}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được tỉ lệ \( \frac{MD}{AD} = \frac{NC}{BC} \).

B) Để chứng minh là \( \frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1 \):

1. Từ định lý tỉ lệ, ta cũng biết rằng:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{MD}{AD} = 1
\]
và
\[
\frac{CN}{CB} + \frac{NC}{BC} = 1
\]

2. Từ đó, ta có:

\[
\frac{AM}{AD} = 1 - \frac{MD}{AD}
\]
và
\[
\frac{CN}{CB} = 1 - \frac{NC}{BC}
\]

3. Khi \( MD \) tỉ lệ với \( NC \) (vì \( M \) và \( N \) là những điểm chia các đoạn thẳng), ta có thể thay thế:

\[
\frac{MD}{AD} = \frac{NC}{BC}
\]

4. Như vậy, khi cộng 2 tỉ lệ lại ta có:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1 - \frac{MD}{AD} + 1 - \frac{NC}{BC} = 1
\]

Kết hợp những tỉ lệ này, ta hoàn toàn có thể thấy rằng:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1
\]

Vậy nên ta đã chứng minh thành công các tỉ lệ mà đề bài yêu cầu.