1.1. Cho tam giac ABC , M là trung điểm của BC . qua M ke ME // AC (E thuộc AB) . MF // AB (F thuộc AC). Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật. 1.2. Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH.

1.1. Để chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật, ta sẽ chứng minh rằng tất cả các góc trong tứ giác này đều là góc vuông.

- Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.
- Chúng ta đã biết ME // AC. Do đó, góc AEM = góc CAB.
- Đồng thời, MF // AB, vậy góc AMF = góc ACB.
- Xét tam giác ABC vuông tại A, nên góc CAB + góc ACB = 90 độ.
- Do đó, góc AEM + góc AMF = 90 độ, suy ra 180 độ - (góc AEM + góc AMF) = 90 độ, tức là góc EMF = 90 độ.

Với góc AEM = 90 độ và góc EMF = 90 độ, tứ giác AEMF có hai cặp góc vuông kề nhau nên nó là hình chữ nhật.

1.2. Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, ta cũng sẽ chứng minh rằng tất cả các góc trong hình này đều là góc vuông.

- Từ H, kẻ HE // AC, vậy góc HAE = góc AHC (do HE // AC).
- H là đường cao, tức là AH ⊥ AC, nên góc AHC = 90 độ.
- Tương tự, kẻ HF // AB, ta có góc AHF = góc AHB.
- AH ⊥ AB - vì A là đỉnh của tam giác vuông A, nên góc AHB = 90 độ.

Với góc HAE = 90 độ và góc AHF = 90 độ, ta cũng có được hai cặp góc vuông kề nhau, chứng minh AEHF là hình chữ nhật.

2. Để chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật, ta chỉ cần chứng minh rằng AB ⊥ AD và BC ⊥ AD.

- M là trung điểm của BC, giả sử D là một điểm sao cho AM = MD, M sẽ chia AD thành hai đoạn bằng nhau.
- Từ A, kẻ đường cao AH vuông góc với BC và nhận M là trung điểm BC, nên AM vuông góc với BC. Điều này có nghĩa là góc AMB = 90 độ.
- Cũng vì D là trung điểm của AM, suy ra AD cũng vuông góc với BC.

Như vậy, với hai cặp góc vuông, tứ giác ABDC thỏa mãn điều kiện của hình chữ nhật.