2. Tìm số tự nhiên n để phân số 6n-3/4n-6 đạt giá trị lớn nhất.

Để tìm số tự nhiên n để phân số (6n - 3) / (4n - 6) đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số: Ta xét hàm số y = (6n - 3) / (4n - 6).

2. Tính đạo hàm: Để tìm cực trị của hàm số, ta sẽ tính đạo hàm y theo n. Sử dụng quy tắc chia (quy tắc đạo hàm của thương):

y' = ( (4n - 6)(6) - (6n - 3)(4) ) / (4n - 6)².

Tính toán riêng từng phần:

Tử số:
4n 6 - 6 6 - 6n 4 + 3 4 = 24n - 36 - 24n + 12 = -24.

Vậy:
y' = -24 / (4n - 6)².

3. Xét dấu đạo hàm: Đạo hàm y' luôn âm vì tử số là -24 (khác không) và mẫu số (4n - 6)² luôn dương với n >= 2, tức là y' < 0. Điều này có nghĩa là hàm số y = (6n - 3) / (4n - 6) là một hàm giảm khi n >= 2.

4. Tìm giá trị tại các giá trị tự nhiên n: Chúng ta xét hàm số tại các giá trị tự nhiên bắt đầu từ n = 2:

- n = 2: y = (62 - 3) / (42 - 6) = 9 / 2 = 4.5.
- n = 3: y = (63 - 3) / (43 - 6) = 15 / 6 = 2.5.
- n = 4: y = (64 - 3) / (44 - 6) = 21 / 10 = 2.1.
- n = 5: y = (65 - 3) / (45 - 6) = 27 / 14 ≈ 1.93.

Như vậy, khi n tăng lên, giá trị của phân số giảm.

5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của phân số đạt được tại n = 2, và với n là số tự nhiên, n = 2 là giá trị mà phân số đạt giá trị lớn nhất.