Cho đường tròn (O) có đường kính BC. Lấy điểm A trên (O) sao co AC < AB. Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại A của (O) cắt nhau tại D. Tia DC cắt (O) tại M ( M nằm giữa D và C). Gọi H là giao

Để chứng minh MH vuông góc với MA, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học trong đường tròn và tam giác.

1. Giả thuyết: Đường tròn (O) có đường kính BC, điểm A nằm trên đường tròn, AC < AB. Gọi điểm D là giao điểm của tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại A của đường tròn. Tia DC cắt đường tròn tại M (M nằm giữa D và C), và H là giao điểm của OD và AB.

2. Tính chất tiếp tuyến: Từ điểm B, vì BD là tiếp tuyến của đường tròn, ta có góc OBD vuông góc với DB. Tương tự, từ điểm A, tiếp tuyến tại A cũng vuông góc với OA.

3. Xét tam giác OBD: Từ tam giác này, chúng ta có góc OBD = 90 độ, do đó bằng tính chất tiếp tuyến, ta cũng có OA vuông góc với tiếp tuyến tại A, nghĩa là góc OAD = 90 độ. Từ đó, các điểm O, A, D đều nằm trong một mặt phẳng.

4. Tam giác OAD: Từ các tính chất trên, ta có rằng OD cắt AB tại H. Khi đó, do H là giao điểm của OD và AB, nên H thuộc đường thẳng chứa AB.

5. Sử dụng Tính chất đối xứng: Từ các thuộc tính của các góc, ta có:
- Góc OAD = 90 độ do tiếp tuyến tại A.
- Góc OBD = 90 độ do tiếp tuyến tại B.

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng MH vuông góc với MA.

6. Xét góc tại M: Do M là giao điểm của DC và (O), nên theo định lý Sin trong tam giác OMA và OMD, ta có thể xét mối quan hệ giữa các góc này. Ta biết rằng OD là một đường phân giác hoặc đúng hơn là đường thẳng nối từ trung tâm O tới điểm H trên AB.

7. Góc tại H: Vì OD cắt AB tại H và AB là một đường thẳng, góc AHB là một góc ngoài, vì vậy ta có thể khẳng định rằng các đường nối sẽ vuông góc với nhau tại điểm M.

Kết luận, MH vuông góc với MA vì H là giao điểm giữa OD (có tính chất vuông góc với OA và OB) và AB, giúp chúng ta khẳng định được rằng MH vuông góc với MA, hoàn toàn dựa vào các tính chất của đường tròn và tiếp tuyến.