Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để (3^n) -1 chia hết cho 2^2023

Để tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho (3^n) - 1 chia hết cho 2^2023, ta sẽ sử dụng định lý số lượng ẩn số (Lifting The Exponent Lemma).

Theo định lý này, để tính v(i) (số lần 2 chia hết cho a^n - b^n) với a = 3, b = 1 và i = 2, ta có:

v(2)(3^n - 1^n) = v(2)(3 - 1) + v(2)(n)

Đầu tiên, chúng ta tính v(2)(3 - 1):

v(2)(3 - 1) = v(2)(2) = 1 (vì 2 chỉ chia hết cho 2 một lần).

Tiếp theo, ta cần tìm v(2)(n). Từ công thức trên, ta có:

v(2)(3^n - 1) = 1 + v(2)(n)

Để (3^n - 1) chia hết cho 2^2023, ta cần:

1 + v(2)(n) ≥ 2023.

Giải bất phương trình này, ta có:

v(2)(n) ≥ 2023 - 1
v(2)(n) ≥ 2022.

Với một số nguyện dương n, v(2)(n) cho biết số lần 2 xuất hiện trong phân tích nguyên tố của n. Để n có v(2)(n) ≥ 2022, ta chọn n = 2^2022 như một ví dụ cụ thể. Lúc này ta có:

v(2)(n) = 2022.

Điều này đạt yêu cầu.

Gọi n = 2^2022, ta nhận thấy đây là số nguyên dương nhỏ nhất mà (3^n) - 1 chia hết cho 2^2023.

Vậy số nguyên dương n nhỏ nhất để (3^n) - 1 chia hết cho 2^2023 là:

n = 2^2022.